Referat Referat - Grupuri Finite

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Referat - Grupuri Finite si de asemenea puteti face Download Referat Referat - Grupuri finite

Citeste fragmente din Referat Referat - Grupuri Finite

Grupuri finite şi proprietăţile lor . Grupuri ciclice şi operaţiile de înmulţire din grupurile ciclice . Grupuri de simetrie şi importanţa lor în studiu proprietăţilor structurale ale compuşllor chimici . Un grup este un set de elemente legate între ele prin anumite operaţii . Grupurile pot fi finite sau infinite după cum conţin un număr limitat sau nelimitat de elemente . Operaţia prin care sunt legate între ele elementele din grupuri se numeşte multiplicare sau combinare .Ea poate fi o operaţie aritmetică sau algebrică . Pentru ca o colecţie de elemente să constituie un grup , ea trebuie să îndeplinească următoarele condiţii : ( produsul adouă elemente oarecare din grup şi pătratul fiecărui element trebuie să fie un element din grup . ( un element din grup , E , numit element identitate este comutabil cu oricare altul şi îl lasă neschimbat simbolic , este definit prun relaţiile : E∙X = X∙E = X ( multiplicarea este asociativă : A∙(B∙C) = (A∙B)∙C Această proptritate este valabilă pentru orice număr de elemente : (A∙B)∙(C∙D)∙(E∙F) = A∙(B∙C)∙(D∙E)∙(F∙G)∙H = (A∙B)∙C∙(D∙E)∙(F∙G)∙H ( fiecare element are un element reciproc care de asemenea aparţine grupului . TEOREMĂ Elementul reciproc a două sau mai multe elemente este egal cu produsul elementelor reciproce în ordine inversă : (A∙B∙C∙……..∙X∙Y )-1 = Y-1∙X-1∙……..∙A-1 Mulţimea transformărilor de simetrie ale unui corp oarecare formează un grup . Grupul ciclic Un grup G generat de un singur element al său se numeşte grup ciclic . Grupul se obţine prin compunerea succesivă a elementelor generator cu el însuşi sau cu alte cuvinte , ca puteri succesive ale elementelor generator . Grupurile ciclice sunt finite dar şi infinite . În sudiul grupurilor ciclice este important să se caracterizeze întru-un anumit fel numărul elementelor grupului . Aceasta se face cu ajutorul ordinului grupului , care este numărul elementelor unui grup . Ordinul unui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinuilui întregului grup . Un grup ciclic de ordin h este definit , când este definit un element X şi puterile sale până la Xh = E . Grupurile ciclice sunt abeliene , adică toate multiplicările sunt comutative : Xn ∙Xm = Xm ∙Xn , pentru oricare m şi n Exemplu : Trebuie să aflăm câte grupuri de ordinul 4 există şi să dresăm tablele lor de multiplicare .Evident există un grup ciclic pentru care să utilizăm relaţiile : X =A ; X2 = B ; X3 = C ; X4 = E Tabla sa de multipicare este : G4 E A B C E E A B C A A B C E B B C E A C C E A B ău invers . Grupuri mici care se găsesc întru-un grup mai mare se numesc subgrupuri . Acestea nu mai conţin alte subgrupuri în afară de E . TEOREMĂ Ordinul unui subgrup , g , dintru-un grup de ordinul h , trebuie să fie un divizor al ordinului h , adică h/g = k , unde k este un număr întreg . Dacă A şi X sunt două elemente dintr-un grup atunci X-1∙A ∙X = B , unde B este un element din grup . Exprimăm această relaţie spunând că B este transformata de similitudine a lui A prin X sau că A şi B sunt elemente conjugate . Menţionăm câteva proprietăţi ale elementelor cojugate : ( orice element este conjugat cu sine însuşi . Aceasta înseamnă că dându-se un element A se poate găsi cel puţin un element X astfel ca : A = X-1 ∙A ∙X Multiplicând la stânga cu A-1 rezultă : A-1 ∙A = E = A-1 ∙X-1 ∙ A ∙X = (X∙A)-1 ∙ ( A∙X) , care este valabilă numai dacă A şi X sunt comutabile .Astfel elementul X poate fi E sau orice element comutabil cu A . ( dacă A este conjugat cu B , atunci B este conjugat cu A . Acesta înseamnă că dacă A = X-1 ∙ B ∙X , atunci trebuie să existe un element Y în grup astfel că : B = Y-1 ∙A ∙Y . Efectuînd multiplicările potrivite rezultă : X∙ A∙X-1= X∙X-1∙B∙X∙X-1=B Dacă Y=X-1 şi Y-1=X obţinem B=Y-1∙A∙Y ( dacă A este conjugată cu B şi C , atunci B şi C sunt conjugate între ele . Un set complet de elemente conjugate unul cu altul constituie o clasă a grupului . Pentru a determina clasa dintr-un grup se poate începe cu un element şi se calculează toate transformările utilizând toate elementele din grup , apoi se ia un al doilea element care nu s-a găsit a fi conjugat cu primul şi i se determină toate transformările şi tot aşa până când toate elementele din grup au fost aranjate într-o clasă sau alta . Ordinele tuturor claselor dintr-un grup trebuie să fie factori întregi ai ordinului grupului . Grupurile de simetrie O listă completă de operaţii de simetrie îndeplineşte criteriile cerute de un grup matematic . Prin set complet de operaţii de simetrie se înţelege un set în care orice produs posibil dintre două operaţii din set este de asemenea o operaţie din set . Totalitatea elementelor de simetrie proprii moleculei formează un grup , un aşa numit grup punctual de simetrie . O a doua cerinţă să existe un element din grup , E , astfel ca pentru oricare element X din grup , E∙X=X∙E=X este de asemenea satisfăcută . Produsele operaţiilor de simetrie sunt asociative . Ultima cerină ca fiecare element din gruo să aibă un invers este îndeplinită . Pentru reflexia printr-un plan σ , inversa este tot σ şi σ xσ = σ2 = E Pentru o axă proprie Cnm inversa este Cnn-m , deoarece Cnm ∙ Cnn-m = E . În concluzie seturile complete de operaţii constituie grupuri .În caz că nu există alt element de simetrie decât E , avem un grup de ordinul 1 numit C1 . Există şi grupuri care au mai multe elemente de simetrie . Principalele tipuri de grupuri punctuale de simetrie Dacă molecula nu are nici un element de simetrie , singura operaţie de simetrie posibilă este operaţia de identitate .Avem de-a face cu un grup de ordinul 1 format din elementul E .Grupurile se notează convenţional cu simbolurile Schonflies .Grupul amintit se notează cu simbolul C1 . Molecula având doar un plan σ , care generează operaţiile σ şi E .Acest grup de ordinul 2 se notează cu simbolul Cs . Molecula care are numai un centru de inversiune face parte din grupul Ci , format din elementele i şi E . Dacă molecula are doar o axă ciclică Cn , aceasta generează n operaţii de rotire. Simbolul grupului ciclic de ordinul n este Cn . Grupul de simetrie generat de o axă Sn poate fi de diferite tipuri , în funcţie de paritatea lui n . Dacă n este par , Sn genereză n operaţii care formează un grup de ordinul n .Simbolul grupului este Sn cu excepţia grupului de ordinul 2 când se foloseşte notaţia Ci . Dacă n este impar , molecula posedă atât o axă Cn căt şi un plan σn .Numărul operaţiilor este 2n , iar simbolul este Cnh . Molecula având o axă Cn şi plane de simetrie verticale , numărul acestora va fi n .Dacă n este impar , cele n plane σn vor fi echivalente , aparţinând aceleiaşi clase .Dacă n este număr par , apar două clase de plane σv cu căte n/2 elemente . Planele echivalente dintr-o clasă se notează cu σv , iar cele din cealaltă clasă sunt plane diedrice deoarece ele bisectează unghiul diedric format de două plane σv . Simbolul lor este σd . Grupul coţine 2n operaţii şi se notează cu simbolul Cnv . Dacă molecula are pe lăngă axa Cn şi axe C2 perpendiculare pe aceasta numărul lor va fi n .Pentru n număr impar cele n axe C2 sunt echivalente , iar dacă n este par , ele formează două clase de câte n/2 elemente .Grupul conţine 2n operaţii şi se notează cu Dn . Dacă la elementele grupului Dn se mai adaugă un σh rezultă grupul Dnh format din 4n elemente . Avem cele n operaţii generate de Cn , n operaţii C2 , o operaţie σh , iar printre produsele operaţiilor de mai sus apar n plane σv , deoarece C2 ∙ σh = σh ∙ C2 =σv Există câteva grupuri speciale dintre care grupurile infinite şi cele cubice .Dintre cele două grupuri infinite fac parte moleculele liniare care au toate o axă ciclică C∞ coliniară cu axa moleculei . Această axă infinită genereză o infinitate de operaţii de rotire . Toate planele ce trec prin această axă sunt plane de simetrie , deci moleculele liniare au o infinitate de plane σv . Dacă molecula nu are alte elemente de simetrie ea aparţine grupului C∞v. Moleculele liniare mai pot avea şi un plan de simetrie perpendicular pe axa moleculei . Dintre grupurile cubice , cele mai importante sunt grupul tetraedrului şi cel al octaedrului . Tetraedru . Grupul de simetrie Td . Feţe : 4 triunghiuri echilaterale .Vârfuri : 4 . Muchii : 4 .Operaţii de simetrie în număr de 24 , formează următoarele clase în felul următor : E,8C3 , 3C2 , 6S4 ,6σd . Octaedru . Grupul de simetrie Oh. Feţe : 8 triunghiuri echilaterale .Vârfuri : 6 . Muchii : 12 .Operaţii de simetrie în număr de 48 , formează următoarele clase în felul următor : E,8C3 , 6C4 ,6C2 ,3C2(=C42)I , 6S4 ,8S6 , 3σh , 6σd . Pentru a determina cărui grup de simetrie aparţine o moleculă folosim următoarele reguli : Molecula nu are nici o axă de simetrie .În acest caz putem avea următoarele situaţii : (molecula nu are nici un alt element de simetrie şi deci aparţine grupului C1. ( molecula are un plan de oglindire σ şi deci aparţine grupului Cs . ( molecula are un centru de simetrie I şi deci aparţine grupului Ci . Molecula are o axă Cn .În acest caz putem avea următoarele situaţii : ( molecula nu are alte elemente de simetrie şi deci aparţine grupului Cn . ( molecula are un plan de oglindire orizontal σn şi atunci aparţine grupului Cnh . ( molecula area un plan de oglindire vertical σv şi atunci aparţine grupului Cnv. Molecula are pe lângă o axă principală de rotaţie Cn cel puţin încă o axă C2. În acest caz avem următoarele situaţii : ( molecula nu are nici un plan de simetrie şi în acest caz aparţine grupului Dn . ( molecula are şi un plan de oglindire orizontal σn şi în acest caz aparţine grupului Dnh . Molecula are o axă S2n . În acest caz putem avea următoarele situaţii : ( molecula nu are nici un plan de oglindire verticală şi în acest caz aparţine grupului S2n . (molecula area plan de oglindire verticală σd şi în acest caz aparţine grupului Dnd . Molecula are mai multe axe de rotaţie Cn cu n≥3 .În acest caz se caută dacă aparţine grupului Td sau Oh . Molecula prezintă o axă principală de rotaţie C∞ .In acest caz putem avea următoarele situaţii : ( molecula nu are un plan de oglindire şi aparţine grupului C∞v . ( molecula are plan de simetrie σn şi atunci aparţine grupului D∞n . Atomii aparţin grupului Kh . Studiul proprietăţilor de simetrie ale atomilor şi moleculelor fiind efectat prin intermediul diverselor proprietăţi ale grupurilor punctuale cărora le aparţin atomi sau moleculele respective sunt necesare cunoştinţe asupra proprietăţilor grupurilor şi în primul rând cunoştinţe asupra proprietăţilor algebrice ale acestora . În studiul proprietăţilor algebrice ale grupului un rol important îl joacă noţiunea de subgrup . Fie G un grup şi H o submulţime a lui G . Fie în G o lege de compoziţie p : GxG→G şi fie în H o lege de compoziţie q :HxH →H . Se spune că H este un subgrup al lui G dacă el este un grup faţă de legea de compoziţie q şi dacă pentru oricare a , b € H avem : q(a , b) = p(a , b) Condiţia ca într-un grup G în care vom nota legea de compoziţie cu ,, ○ ” , două elemente X şi Y să aparţină unui subgrup H este că dacă X , Y€ H să avem X○Y-1 € H . Un subgrup H al lui G se numeşte subgrup ciclic dacă el este generat de un singur element h € H . Se numeşte omomorfism al unui grup G întru-un grup G’ orice aplicaţie f : G→ G’ care satisface condiţia : φ( X ○ Y) = f(X) ○ f(Y) Fie un grup G şi X , Y € G . Dacă în G există condiţia X= a○y○a-1 elementele X şi Y se numesc conjugate . Două elemente conjugate cu un al treilea element sunt conjugate între ele . Fie X=a○y○a-1 şi Y=b○z○b-1 rezultă X=a○b○z○b-1○a-1 = a○b○z○(a○b)-1 Un element este conjugat cu el însuşi căci X=e○x○e-1 O mulţime G înzestrată cu legea de compoziţie este un grup şi poartă denumirea de produs al grupului G1 şi G2 şi se notează cu G= G1 x G2 . Un astfel de produs a două grupuri poate fi definit de exemplu luând ca grupuri G1 , G2 , două subgrupuri oarecare ale unui grup G. Dacă subgrupurile G1 , G2 ale grupului G se bucură de proprietăţile următoare : 1) ( G1∩ G2 = e , elementul neutru din G 2) ( În G elementele lui G1 comută cu elementele lui G2 şi reciproc 3) ( G1 x G2 = G , adică orice x € G se poate scrie ca produs x = x1 ○ x2 unde x1 € G şi x2 € G2 atunci produsul G1 x G2 are un nume special şi anume de produs direct . Dacă avem n grupuri G1 , G2 ……. Gn astfel că : ( G1 ∩ G2 = e ; G1 ∩ G3 = e ; ……..G1∩ Gn = e ( elementele grupului G1……..Gn comută ( G1 x G2 x……….Gn = G , adică oricare ar fi x € G , se poate scrie că x = x1 ○ x2 ○ …….○ xn cu x1 € G1 , x2 € G2 ………xn € Gn atunci grupul G se numeşte produs direct al grupurilor G1 , G2 …….Gn şi se notează G = G1 ( G2 ( ………( Gn O reprezentare în baza { Qk } a grupului G , arătându-se că aceasta este o reprezentare redusă constituie principiul aplicării teoriei grupurilor la studiul vibraţiilor , reducerea unei reprezentări fiid echivalentă cu transformarea bazei {qi } în baza { Qk } . Grupurile punctuale de transformări de simetrie cărora le aparţin reactanţii în reacţiile periciclice pot fi C2 , C3 sau C2( . Modul de transformare al orbitalilor moleculari implicaţi în reacţiile periciclice la acţiunea transformărilor din unul din grupuri , poate fi studiat pe baza reprezentărilor grupului respectiv în baza formată din orbitalii moleculari . Presupunem că în baza { (1……(2 } grupul G are reprezentarea ( care poate fi reductibilă sau ireductibilă . Grupurile C1 , C3 , C2( nu au decât reprezentări ireductibile unidimensionale şi anume : A şi B la C2 , A’ , A’’ la C3 , A1 , A2 , B1 , B2 la C2( . Caracterul unei astfel de reprezentări nu poate fi decât +1 sau –1 . Notaţii matriciale pentru operaţii de simetrie Operaţiile de simetrie dintr-o moleculă pot fi descrise printr-o matrice . Identitatea Prin relaţia de identitate un punct de coordonate x ,y,z îşi păstrează coordonatele iniţiale : Reflexiile Alegând ca plan de reflexie un plan principal în coordonate cartesiene (xy , yz, xz ) , reflexia unui punct schimbă semnul coordonatei perpendiculară pe plan şi lasă neschimbate cele două coordonate care definesc planul .Reflexia poate fi reprezentată astfel : ((xy) : ((xz) Analog şi pentru ((yz) . Inversiunea Pentru simpla schimbare a coordonatelor , fără permutarea lor trebuie introdusă matricea unitară negativă . Mai întâlnim la grupurile de simetrie şi proprietatea de rotaţie proprie şi rotaţie improprie . Studiul grupurilor este aşadar legat pentru chimie de studiul proprietăţilor de simetrie ale atomilor şi moleculei . Pe baza proprietăţilor de simetrie se pot explica cu ajutorul grupurilor o serie de regularităţi în spectrele de emisie şi absorbţie ale atomilor şi moleculelor , diverse comportamente ale unor molecule în reacţii chimice , se pot efectua mai comod o serie de calcule privind atomii sau moleculele . De aici rezultă şi importanţă studiului teoriei grupurilor pentru chimişti . Utilizarea grupurilor pentru caracterizarea simetriei are la bază faptul că transformările de simetrie care efectate asupra unei molecule , nu o modifică , formează din punct de vedere matematic , ceea ce se numeşte un grup . Acest fapt este important pentru chimişti numai în măsura în care teoria grupurilor este un instrument . PAGE PAGE 8 쥁