Referat Functia De Gradul 2.DOC

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Functia De Gradul 2.DOC si de asemenea puteti face Download Referat functia de gradul 2.DOC

Citeste fragmente din Referat Functia De Gradul 2.DOC

Prefaţă Această lucrare a fost realizată cu sprijinul corporaţiei „Paul & Co.” şi se adresează unor anumite categorii de persoane, şi anume elevilor de liceu care doresc să-şi aprofundeze cunoştinţele în domeniul matematicii. De asemenea această sinteză, scurtă şi la obiect, a funcţiei de gradul II este foarte utilă elevului modern din ziua de astăzi care nu se omoară cu învăţatul şi doreşte să facă într-aşa fel încât să scape cât mai repede. Lucrarea de faţă nu numai că-l face să reţină esenţialul într-o perioadă relativ scurtă, ba chiar îl poate atrage, şi pe viitor, cu siguranţă va rezerva mai mult timp studiului. Cuprins Partea teoretică…………………………………………………... pg 4 – 8 Definiţia funcţiei de gradul II. Exemple…………………………... pg 4 Variaţia funcţiei de gradul II şi reprezentarea grafică……………... pg 4 Forma canonică……………………………………………………. pg 4 Maximul şi minimul……………………………………………….. pg 5 Sensul de variaţie (intervalele de monotonie)……………………... pg 5 Reprezentarea grafică a funcţiei pătratice…………………………. pg 6 Trasarea curbei reprezentative a unei funcţii pătratice……………. pg 7 Semnul funcţiei pătratice………………………………………….. pg 8 Partea aplicativă…………………………………………………. pg 8 – 9 Partea teoretică DEFINIŢIA FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA. EXEMPLE Definiţie. Fiind date numerele reale, a,b,c cu a( 0, funcţia f : R(R definită prin formula: f(x) = ax² + bx + c se numeşte funcţie de gradul al doilea cu coeficienţii a, b, c. Deoarece domeniul şi codomeniul funcţiei de gradul al doilea este R vom indica această funcţie astfel: f(x) = ax² + bx + c sau y = ax² + bx + c O funcţie de gradul al doilea f : R(R, f(x) = ax² + bx + c este perfect determinată când se cunosc numerele reale a, b, c (a ( 0). Trebuie să observăm că în definiţia funcţiei de gradul al doilea condiţia a ( 0 este esenţială în sensul că ipoteza a = 0 conduce la funcţia de gradul întâi, studiată în clasa a VIII-a. Denumirea de funcţie de gradul al doilea provine din faptul că este definită prin intermediul trinomului de gradul al doilea aX² + bX + c. Exemple de funcţii de gradul al doilea f1 (x) = 7x² - 9x + 10, (a = 7, b = -9, c = 10); f2 (x) = (2x² + (2x + 1, (a = (2, b = (2, c = 1); f3 (x) = 0.51x² - 2x, (a = 0.51, b = -2, c = 0); f4 (x) = x² + 0.31, (a = 1, b = 0, c = 0.31); f5 (x) = -x² - 5x – 0.31, (a = -1, b = -5, c = -0.31). VARIAŢIA Şi REPREZENTAREA GRAFICĂ A FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA Forma canonică Reamintim că pentru orice x ( R ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²] Rezultă că pentru orice x ( R, avem f(x) = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²] (1) Membrul drept al egalităţii (1) se numeşte forma canonică a funcţiei pătratice. Numărul Δ = b² - 4ac, discriminantul ecuaţiei asociate (ax² + bx + c = 0), se mai numeşte discriminantul funcţiei pătratice. Observăm că f(-b/2a) = -Δ/4a Exemple 2x² - x + 3 = 2[x² - 1/2x + 3/2] = 2[x² - 2*x*1/4x + 1/16 - 1/16 + 3/2] = 2[(x -1/4)² + 23/16] = 2(x – 1/4)² + 23/8; -3x² - 4x + 5 = (-3)[x² + 4/3x - 5/3] = (-3)[x² + 2*2/3x + 4/9 - 4/9 - 5/3] = (-3)[(x + 2/3)² - 19/9] = (-3)(x +2/3)² + 19/3 Maximul şi minimul Exemple f : R(R, f(x) = 2x² - x - 3. Avem f(x) = 2(x - 1/4)² + 23/8, ( x ( R, deci f(1/4) = 23/8 şi f(x) ( f(1/4), ( x ( R. Rezultă că 23/8 este cea mai mică valoare sau minimul funcţiei f pe R. f : R(R, f(x) = -3x² - 4x + 5. Avem f(x) = -3(x +2/3)² + 19/3, ( x ( R, deci f(-2/3) = 19/3 şi f(x) ( f(-2/3), ( x ( R Rezultă că 19/3 este cea mai mare valoare sau maximul funcţiei f pe R. În general, având în vedere forma canonică a funcţiei pătratice f(x) = ax² + bx + c şi faptul că f(-b/2a) = -Δ/4a, rezultă că pentru orice x ( R f(x) - f(-b/2a) = a(x + b/2a)² Constatăm că semnul diferenţei din membrul stâng depinde de semnul numărului a, deci pentru orice x ( R avem: dacă a > 0, f(x) ( f(-b/2a), deci f admite un minim pe R; dacă a < 0, f(x) ( f(-b/2a), deci f admite un maxim pe R; Fie funcţia f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0. Dacă a > 0, minimul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de minim este –b/2a. Dacă a < 0, maximul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de maxim este –b/2a. Sensul de variaţie (intervalele de monotonie) Exemplu. Vom studia intervalele de monotonie ale funcţiilor g şi h definite pe R, g(x) = (x - 2( + 3 şi h(x) = -(x + 3( + 1. Avem: g(x) = x + 1, x ( 2 h(x) = -x - 2, x ( -3 -x + 5, x < 2 x + 4, x < -3 Funcţia g are minimul în punctul x = 2 (g(x) ( g(2), adică (x - 2( + 3 ( 3 sau (x - 2( ( 0, ( x ( R) şi este strict descrescătoare pe (-∞; 2], strict crescătoare pe [2; + ∞). Funcţia h are maximul în punctul x = -3 (h(-3), ( x ( R) şi este strict crescătoare pe (-∞; -3], strict descrescătoare pe [-3; + ∞). Fie funcţia f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0. Dacă a > 0, atunci f are minim pe R şi vom arăta că se comportă analog cu funcţia g. Dacă a < 0, atunci f are un maxim şi vom arăta că se comportă analog cu funcţia h. Fie u, v ( R, u ( v. Raportul de variaţie asociat lui f şi numerelor u, v este (f(u) – f(v))/(u-v) = (au² + bu - av² - bv)/(u - v) = a(u + v) + b Să studiem semnul raportului de variaţie în cazul a > 0. Dacă u, v ( (-∞; -b/2a], atunci din u ( -b/2a, v ( -b/2a, rezultă u + v ( -b/a sau a*(u + v) + b ( 0. Avem a*(u + v) + b = 0 ↔ u = v = -b/2a, situaţie care nu poate avea loc, deoarece prin ipoteză u ( v. Rezultă a*(u + v) + b < 0, deci în cazul a > 0, f este strict descrescătoare pe (-∞; -b/2a]. Dacă u, v ( [-b/2a; + ∞), deducem analog a(u + v) + b > 0, deci în cazul a > o, f este strict crescătoare pe [-b/2a; + ∞). În mod analog se studiază cazul a < 0. Fie funcţia f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0. Dacă a > 0, atunci funcţia f atinge minimul în punctul –b/2a şi este: strict descrescătoare pe (-∞; -b/2a], strict crescătoare pe [-b/2a; + ∞); Dacă a < 0, atunci funcţia f atinge maximul în punctul –b/2a şi este: strict crescătoare pe (-∞; -b/2a], strict descrescătoare pe [-b/2a; + ∞). Reprezentarea grafică a funcţiei pătratice Considerăm un reper în plan. Reprezentarea grafică a funcţiei f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0, adică mulţimea punctelor M (x, y) ale căror coordonate verifică relaţia y = ax² + bx + c, este o curbă numită parabolă. Vom nota această curbă prin (f. Condiţia ca un punct din plan să aparţină curbei (f Fie M (p, q) un punct din plan. Punctul M (p, q) aparţine curbei (f dacă şi numai dacă q = f(p), deci q = ap² + bp + c. Dacă q ( ap² + bp + c, atunci (f nu trece prin M (p, q). Punctul V(-b/2a, -Δ/4a) aparţine curbei (f pentru că -Δ/4a = f(-b/2a) şi se numeşte vârful parabolei. Exemple A (2, -3) ( (f ( -3 = 4a + 2b + c; B (-1, 0) ( (f ( 0 = a - b + c. a + b + c = 0 ( C (1, 0) ( (f ; a - b + c = 2 ( D (-1, 2) ( (f. Axa de simetrie a curbei (f Fie o funcţie f : R(R. Dreapta de ecuaţie x = h este axă de simetrie pentru curba reprezentativă a funcţiei f dacă f(h + x) = f(h - x), ( x ( R. Dacă are loc relaţia f(-x) = f(x), ( x ( R (avem h = 0), atunci curba este simetrică în raport cu axa Oy şi f este o funcţie pară. Funcţia pătratică f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0 verifică relaţia f(-b/2a + x) = f(-b/2a - x), ( x ( R. ceea ce se poate demonstra direct sau utilizând forma canonică. Curba reprezentativă a funcţiei f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0 admite ca axă de simetrie dreapta de ecuaţie x = -b/2a. În particular, dacă b = 0, f(x) = ax² + c este o funcţie pară. Intersecţia curbei (f cu axele de coordonate Se ştie că Ox = {(x, y)(x ( R, y = 0}, iar Oy = {(x, y)( x = 0, y ( R}. Rezultă: M (x, y) ( (f ( Ox ( y = ax² + bx + c şi y = 0 ( ax² + bx + c = 0 şi y = 0. M (x, y) ( (f ( Oy ( y = ax² + bx + c şi x = 0 ( x = 0 şi y = c. După cum Δ = b² - 4ac este strict pozitiv, nul sau strict negativ, ecuaţia ax² + bx + c = 0 are două soluţii reale x1 şi x2, o singură soluţie reală x = -b/2a, respectiv nici o soluţie reală. În consecinţă: dacă Δ > 0, (f ( Ox ={A(x1, 0), B (x2, 0)}; dacă Δ = 0, (f ( Ox ={A (-b/2a, 0)}; dacă Δ < 0, (f ( Ox =Ø. De asemenea, reprezentarea grafică a oricărei funcţii pătratice intersectează axa Oy, şi anume (f ( Oy = {C(0, c)} Pentru c = 0, curba asociată funcţiei f(x) = ax² + bx trece prin originea reperului. Trasarea curbei reprezentative a unei funcţii pătratice Pentru a reprezenta grafic o funcţie pătratică f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0 adică pentru a trasa curba sa reprezentativă (f , numită parabolă, se procedează după cum urmează. Se determină şi se înscriu într-un tabel de variaţie coordonatele unui număr finit de puncte ale curbei (f , printre care este bine să se afle: punctele de intersecţie ale curbei cu axele reperului; punctul V (-b/2a, -Δ/4a), vârful parabolei. Se reprezintă aceste puncte într-un reper al planului, ales astfel încât să putem figura toate punctele. Se unesc punctele reprezentate printr-o curbă continuă, ţinând cont de: Intervalele de monotonie ale funcţiei pătratice; Simetria curbei (f în raport cu dreapta de ecuaţie x = -b/2a. Cu ajutorul curbei astfel obţinute, putem obţine o bună aproximare a coordonatelor oricărui punct al curbei (f. Semnul funcţiei pătratice Cazul Δ > 0 x -∞ x1 x2 + ∞ f(x) semn a 0 semn contrar a 0 semn a Cazul Δ = 0 x -∞ -b/2a + ∞ f(x) semn a 0 semn a Cazul Δ < 0 x -∞ + ∞ f(x) semn a Partea aplicativă Să se construiască tabelul de variaţie şi reprezentarea grafică a următoarei funcţii f : R(R, f(x) = x² - 4x + 3 (Δ > 0, a > 0) x -( 0 1 2 3 + ( F(x) 3 0 -1 0 x² - 2x – 8 = (x - 1)² - 9 f.c. = a[(x - b/2a)² - Δ/4a²] x² - 2x - 8 = [(x - 1)² - 36/4] = (x + 1)² - 9 Δ = 4 + 32 = 36 f : R(R f(x) = px² - (p² - 6)x + p² - 1 = min x, x = 5/2 p > 0 y (min) = f(5/2) = -Δ/4a f(5/2) = p(5/2)² - (p² - 6)*5/2 + p² - 1 = -3/2p² - 25/4p + 14 Δ = p4 – 12p² + 36 – 4(p³ - p) = = -12p² - 4p³ + p4 + 4p + 36 = -Δ/4a = (12p² + 4p³ - p4 - 4p - 36)/4p -p4 + 4p³ + 12p² - 4p – 36 = 4p(-3/2p² + 25/4p + 14) -p4 + 4p³ + 12p² - 4p – 36 = -6p³ + 25p² + 56p -p4 + 4p³ + 12p² + 6p³ - 25p² - 60p - 36 = 0 -p4 + 10p³ - 13p² - 60p - 3 = 0 p4 - 10p³ + 13p² + 60p + 36 = 0 P(-2): 16 + 80 + 52 - 120 + 36 = 0 Se descompune polinomul din stânga ecuaţiei, în factori de gradul II şi se egalează cu factorii cu 0. Ecuaţia se scrie (p² - 5p - 6)² = 0 ( p² - 5p - 6 = 0 ( p1 = 6; p2 = -1 f : R(R f(x) = 2x² - 3x + 1 f(x) ( [-1/8, + (), (() x ( R a = 2 ( a > 0 ( min minf = -Δ/4a = -(b² - 4ac)/4a = -(9 - 8)/8 = -1/8 f : R(R f(x) = x² - 8x + 12 ( Ox: y = 0 ( x² - 8x + 12 = 0 Δ =64 – 48 = 16 ( (Δ = 4 x1 = (-b + (Δ)/2a = (8 + 4)/2 = 6 (A (6, 0) x2 = (-b - (Δ)/2a = (8 - 4)/2 = 2 ( B (2, 0) ( Oy: x = 0 ( y = 12 ( C (0, 12) a = 1, a > 0 ( xmin = 8/2 = 4 ymin = -Δ/4a = -1 ( V (4, -1) x -1 0 2 4 6 7 f(x) 21 12 0 -1 0 5 ÎNSEMNĂRI PAGE PAGE 9 쥁