Referat Algebra Si Geometrie

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Algebra Si Geometrie si de asemenea puteti face Download Referat Algebra si Geometrie

Citeste fragmente din Referat Algebra Si Geometrie

Clasa a X-a Algebra si Geometrie Capitolul I Progresii (Sir Definitie:O functie definita pe multimea N* a numerelor naturale nenule cu valori intr-o multime E se numeste sir de elemente ale multimii E. (Progresii aritmetice Definitie:Un sir de numere in care fiecare termen, incepand cu al doilea, se obtine din acel procent prin adaugarea aceluiasi numar, se numeste progresie aritmetica. ak+1=ak+ r , k=1. Termenul general al progreiei aritmetice. an=a1 + ( n-1)r. Relatia intre doi termeni. am=ap +(m-p) r. Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. n. (Progresii geometrice Definitie:Un sir de numere al carui prim termen este nenul, iar fiecare termenal sau, incepand cu al doilea, se obtine din acel procent prin inmultirea cu un acelasi numar nenul, se numeste progresii geometrice bn=bn-1* q. Formula termenului general al unei progresii geometrice: (q (R{0;1} astfel incat bn=b1*qn-1,(n=1. Formula sumei primilor n termeni ai unei progresii geometrice: . Capitolul II Functii Functii injective, surjective, bijective Definitie: Fie f: A B o functie. Vom spune ca f este o functie injectiva sau ca este o injectie, daca pentru oricare elemente x si y ale lui A, x(y, avem f(x)( f(y) . Definitie: O functie f: A B este o functie surjectiva, daca pentru orice element b(B exista cel putin un element a(A astfel incat f(a)=b. Definitie: O functie f: A B care este simultan injectiva si surjectiva se numeste functie bijectiva . Teorema: O functie f: A B este inversabila daca si numai daca este bijectiva. Functia exponentiala Teorema 1. Daca a>1 este un numar real, atunci dintre doua puteri cu exponent rational pozitiv ale acestui numar, este mai mare aceea al carei exponent este mai mare. Teorema 2. Daca 01 atunci functia logaritmica este functie strict crescatoare. *Daca 01 atunci x1log ax2 x a a((0;1) subunitar a((1;8) x((0;1); x((1;8); Supraunitar + d)Proprietatile logaritmilor 1)log a A B =loga A + loga B = loga A - loga B 3)loga A( = ( logaA Logaritmi zecimali Log10x = lgx , x((0,8). Logaritmi naturali Log e x=Ln x. 4)Functii trigonometrice a) Proprietati cunoscute ale functiilor trigonometrice. *Functia sin : R([-1,1] are urmatoarele proprietati: (este periodica, avand perioada principala 2(: sin(x + 2()=sin x (oricare ar fi k(Z *, numarul 2k( este perioda a functiei: sin(x+2k()=sin x (nu este monotona pe tot domeniul functiei. *Functia cos :R([-1,1], care asociaza fiecarui numar x(R numarul cos x([-1,1], are urmatoarele proprietati: (este periodica, avnd perioda principala 2(: cos(x+2()=cos x (oricare ar fi k( Z*, numarul 2k( este perioada a functiei: cos(x+2k()=cosx (nu este monotona pe tot domeniul de definitie. (t(Z }(R (este periodica ,avand perioada principala (: tg(x+()=tg x (numarul k( este perioada a functiei tg(x+k()=tgx (nu este monotona pe tot domeniul de definitie *Functia ctg : R{t( t (Z} (este periodica, avand perioda principala (: ctg(x+()=ctgx ( numarul k( este perioada a functiei: ctg(x+k()=ctgx ( nu este monotona pe tot domeniul de definitie. b)Functii trigonometrice inverse *Functia arcsinus ]([-1;1] se numeste arcsinus si se noteaza arcsin. *Functia arccosinus Definitie:Inversa functiei cos : [0,(] ([-1,1] se numeste arccosinus si se noteaza arccos. *Functia arctangenta ](R se numeste arctangenta si se noteaza arctg. Observatii: tg x=y ( x =arctg y; arctg(tg x) =x; arctg(-x) =-arctg x; *Functia arcctangenta Definitie:Inversa functiei ctg x : (0,()(R se numeste arccotangenta si se noteaza arcctg. Observatii:ctg x=y ( arcctg y; ctg(arcgtg x)=x; arcctg(ctg x)= x; -functia arcctg este strict descrescatoare. Capitolul III Numere complexe Multimea numerelor complexe Forma algebrica a numerelor complexe: C={z z =x+iy; x,y(R, i2=-1} §.Egalitatea a doua numere complexe z1=z2 ( x1=x2 si y1=y2 §.Operatii cu numere complexe (Adunarea numerelor complexe z1+z2=(x1+ iy1) + (x2+ iy2) = (x1+ x2)+i(y1+ y2) (Inmultirea numerelor complexe z1z2=(x1x2- y1y2) + (x1y2 +x2y1)I §.Proprietatile operatiilor cu numer complexe 1)Adunarea: (Adunare numerelor complexe este asociativa. ( Adunare numerelor complexe are element neutru pe 0. (Oricare z(C cu proprietatea z + (-z )=0 . (Adunare numerelor complexe este comutativa. 2)Inmultirea: (Inmultirea numerelor compleex este asociativa. (Inmultirea numerelor complexe are element neutru pe 1. (Oricare z(C {0} ( z-1(C astfel incat z z-1 =1 (Inmultirea numerelor complexe este comutativa §. Modulul numerelor complexe Definitie: Fie z= x+iy (C *Proprietatile modulului unui numar complex: | z | = 0 , oricare z(C. | z | = 0 ( z=0 | z1| | z2| c)fig 1 fig. 1 | z1| - | z2| = | z1 + z2 | = |z1 |+ |z2 | inegalitatea triunghiului d) | z1 z2 | = | z1 | *| z2 | f) | z | = |-z | §. Conjugatul numui numar complex z=x+ iy z = x- iy fig. 2 Definitie: Fie z = x+ iy, (C “Conjugatul lui z “ = z = x – iy *Proprietati ale conjugatului unui numar complex A) z1 +z2 = z1 +z2. B)z1 z2= z1 z2. . D)Fie z=x + iy (C z(R ( z = z. E)z*z=|z2|, oricare z(C. §. Numere complexe in forma trigonometrica z = x +iy = r( cos t + i sin t) => C= z=r(cost + i sint) | r([0;(] si t([0;2(] r([0;(] r=modulul lui z z= r( cos t + i sin t) t([0;2(] t=argumentul lui z §.Operatii cu numere complexe in forma trigonometrica 1)Adunarea: z1 + z2 =(r1 cost1 + r2 cost2) + i(r1 sint1 + r2 sint2). 2)Inmultirea: z1 z2=r1r2[cos(t1 + t2) + isin(t1 + t2)]. [cos(t1- t2) + isin(t1- t2)]. 4)Ridicarea la putere: zn=rn(cos n t + isin n t). ]. §.Radacini de ordinul n ale unitatii zn>1; n( N*. *Formula de calcul: zn=1 ]. §.Interpretarea geometrica a radacinilor de ordin n ale unitatii. ;(cele n radacini ale unitatii. §.Ecuatii binome. (Forma generala: zn – a=0,a(C; (Solutii: ) §.Ecuatii bipatrate: (Forma generala: a*zn + b*zn + c=0 a,b,c(R. (Solutii: ecuatia are n solutii. Zn=t. Capitolul IV Elemente de geometrie Transformari geometrice Definitie: Un punct A( P se numeste punct invariat sau punct fix al transformarii T : P ( P daca T(A) = A. Definitie: Transformarea sd se numeste simetria in raport cu dreapta d sau simetria axiala de axa, iar punctul X` = sd(X) este simetricul punctului X fata de dreapta d (fig. 3). A X X`= sd(X) Y Y`= sd(Y) d P fig 3 *Simetria in raport cu un punct Definitie: Fie O un punct in planul P. Simetria in raport cu punctul O sau simetria centrala de centru O este acea transforamre so :P ( P care asociaza punctul O pe el insusi si oricarui alt punct X, acel punct X` (OX, astfel incat O sa fie in mijlocul segmentului XX` (fig. 4). X` = so(X) O X * Rotatia Definitie: Fie O un punct in planul P si ( un numar din intervalul (-2(, 2().Rotatia de centru O si masura orientata ( este acea transformare ro( :P(P care asociaza punctului O pe el insusi si oricarui alt punct X(P acel punct X`(P astfel incat OX`= OX si masura orientata a unghiului orientat XOX` este egala cu ( radiani *Pozitii relative ale dreptelor si planelor in spatiul euclidian Definitie: Doua drepte coplanare distincte care nu au nici un ounct comun se numesc drepte paralele. Acceptam ca o dreapta este paralela cu ea inasasi. Axioma paralelelor: Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singura paralela la dreapta data. *OBS: Spatiul geometric in care, pe langa celelalte axiome, axioma paralelelor a lui Euclid este valabila si se numeste spatiul euclidian. Definitie: Unghiul a doua drepte in spatiu este unghiul directiilor celor doua drepte. Definitie: Doua drepte in spatiu se numesc perpendiculare daca unghiul lor este drept. Definitie: Fie o dreapta d si un plan (. Daca dreapta d nu are nici un punct comun cu planul ( , spunem ca dreapta d este paralela cu planul (si notam d || (. Acceptam ca o dreapta inclusa intr-un plan este paralela cu acel plan (fig. 5). d ( fig. 5 Teorema 1: Fie dreapta d care intersecteaza planul ( in punctul A. Daca dreapta d este perpendiculara pe doua drepte incluse in planul (, concurente in A, atunci este perpendiculara pe orice dreapta din plan. Teorema 2: Dintr-un punct exterior unui plan se poate duce o singura perpendiculara pe planul dat . Teorema 3: Proiectia unei drepte d pe un plan pe care il intersecteaza este o dreapta sau un punct. Teorema 4: Daca o dreapta d este paralela cu o dreapta g inclusa intr-un –plan (, atunci dreapta d este paralela cu planul ( Teorema 5: Fie planul ( si dreapta d paralela cu (. Daca ( este un plan astfel incat ( || ( si ( ( d atunci intersectia ((( este o dreapta || cu dreapta d . Teorema 6: Doua drepte paralele cu aceeasi dreapta sunt paralele intre ele. Teorema 7: Daca doua drepte concurente sunt paralele cu un plan atunci planul determinat de ele este paralel cu planul dat. Teorema 8: Daca un plan intersecteaza doua plane paralele intersectiile sunt drepte paralele. Teorema 9: Doua plane paralele cu acelasi plan sunt paralele intre ele. Teorema 10: Doua plane perpendiculare pe aceeasi dreapta sunt paralele. Teorema 11: Daca o dreapta este perpendiculara pe un plan, orice plan care il contine este perpendicular pe planul dat. Teorema 12: Un plan perpendicular pe doua plane incidente este perpendicular pe intersectia lor. Teorema 13: Se considera planul ( si un punct A((. Fie MA o dreapta ( planul (, d o dreapta inclusa in planul ( si AN ( d (n(d). Atunci MN ( d. Teorema 14: Fie ( un plan, punctul A((, dreapta MA ( (, o dreapta d(( si MN ( d atunci AN ( d. Teorema 15: Fie ( un plan, punctele A((, M((, dreapta d((, AN ( d MN( d si MA (AN. Atunci MA((. *Corpuri geometrice. Volumuri: BI; (R2I; (Volumul prisei: V=B;I (Volumul cilindrului: V=(R2I; + b); (R2 + Rr + r2); (R3; (3r2 + h2); (3r21 + 3r22 + h2); (3r21 + 3r22 + h2); R2h; ; Arii: (Aria laterala a cilindrului: S=2(RG; (Aria totala a cilindrului: S=2(R(R + G); (Aria laterala a conului: S=(RG; (Aria totala a conului: S=(R(R + G); (Aria laterala a trunchiului de con: S=(g(R + r); (Aria totala a trunchiului de con: S=(g(R + r) + (R2 + (r2; (Aria zonei: S=2(Rh; (Aria calotei: S=2(Rh; (Aria sferei: S=4(R2; §.Corpuri circimscrise Definitia 1: Spunem ca o sfera este inscrisa intr-o piramida oarecare, sau ca piramida este circuscrisa sferei daca sfera este tangenta la toate fetele piramidei. Definitia 2: Se spune ca o sfera este circumscrisa unei piramide, sau ca piramida este inscrisa in sfera, daca toate varfurile piramidei sunt situate pe sfera. Definitia 3: Spunem ca o sfera este inscrisa intr-o prisma sau ca prisma este circumscrisa sferei daca sfera este tangenta la toate fetele primei. Definitia 4: O sfera este inscrisa intr-un con circular drept, sau conul circular drept este circumscris sferei daca sfera este tangenta cu baza conului si cu suprafata laterala a acestuia. Definitia 5: O sfera este inscrisa intr-un cilindru circular drept sau cilindrul este circumscris sferei, daca sfera este tangenta cu bazele cilindrului si cu suprafata laterala a acestuia. Definitia 6: O sfera este inscrisa intr-un trunchi de piramida, sau trunchiul de piramida este circumscris sferei, daca sfera este tangenta cu bazele si cu fetele laterale ale trunchiului de piramida. Definitia 7: O sfera este inscrisa intr-un trunchi de con circular drept, sau trunchiul de con circular drept este circumscris sferei, daca sfera este tangenta cu bazele si cu suprafata laterala a trunchiului de con. Definitia 8: Spunem ca o prisma dreapta este inscrisa intr-o sfera sau ca sfera este circumscrisa prismei daca varfurile prismei sunt situate pe sfera. Definitia 9: Spune, ca un con circular drept este inscris intr-o sfera sau ca sfera este circumscrisa conului circular drept daca varful conului este pe sfera, iar baza lui este un cerc al sferei. Definitia 10: Spunem ca un cilindru circular drept este inscris intr-o sfera sau ca sfera este circumscrisa cilindrului daca bazele cilindrului sunt cercuri ale sferei. §. Produsul saclar a doi vectori Definitie: Fie u si v vectori nenuli. Produsul scalar al vectorilor u si v , notat u * v , se defineste prin u * v = |u | * |v | * cos ( reprezinta masura unghiului format de vectorii u si v . u ( v Notatie: Produsul scalar u * u se noteaza u-2. Proprietatile produsului scalar: Produsul scalar a doi vectori este comutativ: u * v = v * u Produsul scalar este distributiv fata de adunarea vectorilor: u ( v1 + v2 ) = u * v1 + u * v2 Oricare ar fi a ( R* si oricare ar fi vectorii u si v are loc relatia: ( a u ) * v = a (u * v) Fie, intr-un reper cartezian de versori i si j, vectorii u si v de coordonate (a,b) si respectiv (x, y). Atunci: u = a i + b j si v = x i + y i => u * v = ax + by Capitolul V Polinoame cu coeficienti complecsi Multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi Definirea polinoamelor Fie C(N) multimea sirurilor (infinite) de numere (complexe) F= (a0, a1 , a2 , …, an , …), care au numai un numar finit de termeni ai , nenuli, adica exista un numar natural m, astfel incat ai =0 prntru orice i > m. *Proprietatile adunarii polinoamelor: Adunarea este comutativa: f + g = g +f . Adunarea este asociativa: (f + g) +h =f + (g + h) . Element neutru: f + 0 = 0 + f = f . Orice polinom are un opus: f + (-f ) = (-f ) + f . *Proprietatile inmultirii polinoamelor Inmultirea este comutativa: f g = g f . Inmultirea este asociativa: (f g ) h = f (g h ) . Element neutru: f 1 = 1 f = f Inmultirea este distributiva fata de adunare: f(g +h) = f g + f h . Daca f si g sunt polinoame nenule, atunci produsul lor este un polinom nenul: f(0 si g(0 => f g(0 . Simplificarea cu un factor nenul: f g = f h si f ( 0, atunci g(h Valoarea unui polinom. Functia polinomiala Definitie: Fie a0 + a1X + … + anXn un polinom arbitrar. Atunci numarul f(()= a0 + a1( +a2(2 + … +an(n se numeste valoarea polinomului f in ( . Definitie: Fie A, B doua submultimi ale lui C. O functie f: A(B se numeste polinomiala daca exista un polinom P( C[X] astfel incat f(a) = P(a), oricare ar fi a ( A. Impartirea polinoamelor Teorema 1: Fiind date doua polinoame oarecare cu coeficienti complecsi, f si g, cu g ( 0, atunci exista doua polinoame cu coeficienti complecsi, q si r, astfel incat F = gq +r unde grad r< grad g Teorema 2: Restul impartirii unui polinom f(0 prin binomul X – a este egal cu valoarea f(a) a polinomului f in a. Divizibilitatea polinoamelor Definitie: Fie f si g doyua polinoame. Spunem ca polinomul g divide polinomul f daca exista un polinom h astfel incat f = g h. Cand polinomul g divide polinomul f, notam simbolic g | f. *Proprietati ale relatiei de divizibilitate a polinoamelor: -Din teorema impartirii cu rest rezulta ca g divide pe f daca si numai daca restul impartirii lui f la g este zero. -Daca g | f si f ( 0, atunci grad g = grad f -Polinoamele de grad 0, adica constantele nenule, divid orice polinom -Daca f este un polinom si a (C, a(0, atunci af | f -Relatia de divizibilitate: i)este reflexiva, adica f | f oricare ar fi polinomul f Intr-adevar f = f * 1 ii)Este tranzitiva, adica daca h | g si g | f, atunci h | f. *Cel mai mare divizor comun al polinoamelor Definitie: Fie f si g doua polinoame. Un polinom d se numeste un cel mai mare divizor comun al polinoamelor f si g, daca verifica urmatoarele conditii: -d este un divizor comun al lui f si g adica d | f si d | g. -orice alt divizor comun d` al lui f si g divide neaparat si pe polinomul d. Teorema 3: Daca f si g sunt doua polinoame, atunci exiata un c.m.m.d.c. al lui f si g. Teorema 4: Fie f, g doua polinoame si d un c.m.m.d.c. al lui f si g. Atunci: -Daca a(C, a (=, atunci ad este un c.m.m.d.c. al polinoalelor f si g. -Invers, daca d` este un c.m.m.d.c. al lui f si g, exista un a (C, a ( 0, astfel incat d` = ad. Teorema 5: Fie f si g doua polinoame. Daca d este un c.m.m.d.c. al lui f si g, atunci exista polinoamele u si v astfel incat d = uf + vg Definitie: Fie f si g doua polinoame. Spunem ca f si g sunt prime intre ele daca 1 este c.m.m.d.c. al lui f si g Radacinile polinoamelor. Ecuatii algebrice *Radacinile polinoamelor. Teorema lui Bézout Fie f un polinom cu coeficienti complecsi. Un numar complex a ( C se numeste radacina a polinomului f daca f(a) = 0. Teorema lui Bezout: Fie f ( 0 un polinom nenul. Numarul a ( C este radacina a polinomului f daca si numai daca X-a divide f. *Radacini multiple Defintie: Fie f ( 0 un polinomnenul si a (C o radacina a lui. Numarul natural m = 1 cu proprietatile ca (X – a)m divide pe f si (X – a)m+1 nu divide pe f se numeste ordinul de multiplicitate al radacinii a . Teorema 7: Fie f ( 0 un polinom nenul. Daca a1, a2, … , ar sunt radacini ale lui f avand ordinile de multiplicitate k1, respectiv k2 ,… , respectiv kr, atunci polinomul (X –a1)k1 ( X - ar)k2 ,… ,(X –ar)kr , divide pe f . 6.Polinoame cu coeficienti reali Teorema 8: Fie f un polinom nenul cu coeficienti reali. Daca (=a+ib, ( b(0) este o radacina complexa a lui f, atunci: ( = a-ib este, de asemenea, radacina a lui f; ( si ( au acelasi ordin de multiplicitate 7.Polinoame cu coeficienti rationali si polinoame cu coeficienti irationali o radacina a lui f. Atunci: este de asemenea o radacina a lui f; au acelasi ordin de multiplicitate. (p, q numere prime intre ele) este o radacina rationala a lui f, atunci: p divide termenul liber a0 q divide coeficientul termenului de grad maxim an . Capitolul IV Elemente de combinatorica Multimi ordonate Spunem ca o multime impreuna cu o ordine bine determinata de dispunere a elementelor sale este o multime ordonata. O multime ordonata este caracterizata prin elementele din care este formatasi prin ordinea in care sunt considerate acestea. Permutari Fiecare din multimile ordonate care se formeraza cu cele n elemente ale multimii A se numeste permutare a acestei multimi. Teorema1: Daca n=1 este numar natural, atunci Pn =n! Aranjamente Daca A este o multime de n elemente, atunci fiecare submultime ordonata a lui A, avand k elemente, unde 0 = k = n, se numeste aranjament de n elemente luate cate k. Teorema 2: Daca n si k sunt numere naturale astfel incat 0