Referat Matrici Si Determinanti

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Matrici Si Determinanti si de asemenea puteti face Download Referat Matrici si determinanti

Citeste fragmente din Referat Matrici Si Determinanti

MATRICI ŞI DETERMINANŢI MATRICI 1.1. Despre matrici . . ). ) un tablou cu m linii şi n coloane sunt numere complexe. , indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice j indică pe ce coloană este situat. . Cazuri particulare (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma . (cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma . se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O . 4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numeşte pătratică. . reprezintă diagonala secundară a matricii A. . Printre aceste matrici una este foarte importantă aceasta fiind şi se numeşte matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0). 1.2. Operaţii cu matrici 1.2.1. Egalitatea a două matrici . Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel încăt să avem egalitatea de matrici . R. Matricile sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, adică: Rezolvând acest sistem găsim soluţia x = 1, y = -3. 1.2.2. Adunarea matricilor . Observaţii . 2) Explicit adunarea matricilor A, B înseamnă: . Exemplu: Să se calculeze A + B pentru: ; R. 1. Avem 2. Avem . Proprietăţi ale adunării matricilor (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică: . (Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică: . . , astfel încât . 1.2.3. Înmulţirea cu scalari a matricilor . Obs.: A înmulţi o matrice cu un scalar revine la a înmulţi toate elementele matricii cu acest scalar. . . Proprietăţi ale înmulţirii matricilor cu scalari ; ; ; ; 1.2.4. Înmulţirea matricilor definită prin . Observaţii . BA adică înmulţirea matricilor nu este comutativă. Proprietăţi ale înmulţirii matricilor (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricilor este asociativă, adică . (Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea). Înmulţirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică A, B, C matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire. este matricea unitate, atunci . este element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricilor. 1.2.5. Puterile unei matrici ). . Pentru n = 2. . polinom caracteristic Generalizat. DETERMINANŢI 4 o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat det(A) numit determinantul matricii A. este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci . este numărul se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2. Definiţie. Determinantul matricii este numărul şi se numeşte determinant de ordin 3. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului. Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizează trei tehnici simple: Regula lui Sarrus Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizează tabelul de mai jos. (am scris sub determinant primele două linii) . . Suma celor şase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeşte „regula lui Sarrus”. Regula triunghiului Am văzut că determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa şase termeni, trei cu semnul plus şi alţi trei cu semnul minus. Primul termen cu plus se găseşte înmulţind elementele de pe diagonala principală, iar ceilalţi doi, înmulţind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură paralelă cu cu diagonala principală. După aceeaşi regulă, referitoare la diagonala secundară, se obţin termenii cu minus. Obs.: Atât „regula lui Sarrus” cât şi „regula triunghiului” se aplică numai determinanţilor de ordin 3. Exemplu. Să se calculeze prin cele două metode de mai sus determinantul R. Regula lui Sarrus. Regula triunghiului Recurent (sau dezvoltare după o linie sau o coloană) Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilalţi cu semnul minus. Are loc următoarea proprietate: , (1) . (2) Observaţii 1) Egalitatea (1) se mai numeşte dezvoltarea determinantului după elementele liniei întâi, iar egalitatea (2) se numeşte dezvoltarea determinantului după elementele coloanei întâi. 2) Formulele (1) şi (2) sunt relaţii de recurenţă, deoarece determinantul de ordin 3 se exprimă cu ajutorul unor deteminanţi de ordin inferior (2). 2.2. Definiţia determinantului de ordin n Voi defini în continuare determinantul de ordin n prin recurenţă cu ajutorul determinanţilor de ordin n – 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizări. . . . de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complemenţii lor algebrici adică . Observaţii 1) Elementelor, liniilor şi coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile şi coloanele determinantului . 2) Formula din definiţie spunem că reprezintă dezvoltarea determinantului de ordin n după elementele primei linii. 3) Definiţia determinantului de mai sus este încă puţin eficientă (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietăţi ale determinanţilor care să fie comode atât din punct de vedere al teoriei şi din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprietăţi le prezint în paragraful următor. o sumă de produse de elemente din determinant, fiecare produs conţinând elemente situate pe linii şi coloane diferite. . Exemplu Să se calculeze determinantul de ordin 4: . R. Aplicăm definiţia dată mai sus pentru n = 4 şi dezvoltăm determinantul după elementele liniei întâi. Avem: = , unde determinanţii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanţii de ordin 3. 2.3. Proprietăţile determinanţilor . . . Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul. . Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniţiale. . Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul. Demonstraţie. Verific pentru linii (şi tot odată pentru coloane). Avem: . înmulţit cu determinantul matricii iniţiale. Demonstraţie. Verificăm pentru linii proprietatea. . Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proporţionale, atunci determinantul este nul. Demonstraţie. Verificăm pentru linii. . Dacă linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinanţi corespunzători matricelor care au aceleaşi linii ca A, cu excepţia liniei i unde au câte unul din cei doi vectori. . Demonstraţie. Am de arătat că: . t v z | ¨ ª Ð Ò Ô Ö . 0 2 4 t v ž   ¤ ¦ ̓呪   j já ja j« j j ␃愃̤摧症x şi egalitatea se verifică. Obs.: O proprietate analogă are loc şi pentru coloane. Dacă o linie (o coloană) a unei matrici pătratice este o combinaţie liniară de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero. Dacă la o linie (o coloană) a matricii A adunăm elementele altei linii (coloane) înmulţite cu acelaşi număr, atunci această matrice are acelaşi determinant ca şi matricea A. . Avem: . . . (Valoarea determinantului este egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală). (Determinantul produsului a două matrici pătratice este egal cu produsul determinanţilor acelor matrici). . şi complemenţii lor algebrici, adică . dă dezvoltarea determinantului după elementele liniei i). Această teoremă permite să calculăm determinantul unei matrici după oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (cât mai uşor) mai multe zerouri. teorema precedentă are loc şi pentru coloane sub forma: . 2.4. Calculul inversei unei matrici fiind matricea unitate. . Deci . O astfel de matrice se numeşte nesingulară. presupune următorii paşi: Pasul 1. (Construcţia transpusei) , . Pasul 2. (Construcţia adjunctei) , inlocuin fiecare element cu complementul său algebric se numeşte adjuncta matricii A. Pasul 3. (Construcţia inversei) Se ţine cont de teorema precedentă şi se găseşte că: Ultimele egalităţi arată că 2.5. Ecuaţii matriciale , unde A, B, C sunt matrici cunoscute, iar X este matricea de aflat. Astfel de ecuaţii se numesc ecuaţii matriciale. Astfel de ecuaţii se pot rezolva numai atunci când A, B sunt matrici pătratice inversabile. şi avem: . . , soluţia ecuaţiei matriciale. . APLICAŢII 1. Manual pg. 67 Să se determine numerele reale x, y, z astfel încât să aibă loc egalitatea de matrici, în cazurile în cazurile: . 2. Se consideră matricile . . . . . . , unde , dacă: . (A) . pg. 120 1. Calculaţi determinanţii de ordinul doi: 2. Calculaţi determinanţii de ordinul trei: 3. Calculaţi determinanţii următori: 4. Să se rezolve ecuaţiile: . 5. Să se rezolve ecuaţiile: . Pentru x = 0 şi y = 1 Pentru x = 1 şi y = 0 Pentru x = 1 şi y = 1 2. Bacalaureat pg. 94 1. Să se determine matricea X din ecuaţia astfel încât astfel încât sistemul următor să fie compatibil şi apoi rezolvaţi-l: . în funcţie de n. numere reale astfel încât (A) . . astfel încât: b) Să se detrmine matricea A astfel încât: . pg. 147 1. Să se rezolve ecuaţia: . Siruri marginite Definitii: 1.Spunem ca sirul ( Xn)n este margin sup(majorat)( (( ) b( R a.i Xn ( b, (( ) n. 2.Spunem ca sirul ( Xn)n este margin inf (minorat ) ( (( ) a( R a.i a ( Xn, (() n . 3.Spunem ca sirul (Xn)n este marginit ( este si majorat si minorat (( ) a,b ( R a.i a ( Xn ( b (() n. Prop. Sirul (Xn) n este marginit ( (() M(R a.i (Xn( ( M, ( () n (Obs. (Xn) ( M ( -M ( Xn ( M. Siruri monotone Definitie: Spunem ca sirul Xn este: strict crescator ( Xn < Xn+1 <…. X0 < X1Xn+1, (( )n( 0 crescator daca Xn ( Xn+1 (() n ( 0 X0 ( X1 …….( Xn ( Xn+1( …… descrescator daca Xn ( Xn+n ,(() n(0 X0(X1(X2….(Xn( Xn+1(…. Ex: (Xn): 1,1,2,2,…….n,n…..sir crescator (Yn): 1,2,3….n,n+1….strict crescator (Zn): 1,1,1/2,1/2,1/3,1/3….descrescator (Rn): -1,-2,-3……-n, strict descrescator !Obs. (Un sir crescator este marginit inf de primul termen Xo (Un sir care este crescator sau descrescator (respectiv strict) se numeste monoton (respective strict monoton) Pentru a stabili monotonia unui sir se face diferenta a doi termeni a Z termeni oarecare consecutivi si aceasta se compara cu 0. Daca termenii sirului este pozitiva se face raportul a doi termeni consecutivi oarecare si se compara cu unu HYPERLINK "http://www.ereferate.ro/" www.eReferate.ro -Cea mai buna inspiratie… SIRURI FUNDAMENTALE ( SIRURI COUCHY ) Definitia 1: Definitia 2: Definitia 3: Observtie! Cele trei definitii date sunt echivalente: Criteriul lui Couchy: Un sir de numere reale este convergent daca si numai daca este sir Couchy. Problem propuse spre rezolvare: I. Utilizand criteriul lui Couchy sa se arate ca urmatoarele siruri sunt convergente: Rezolvare: Aratati ca urmatorul sir de numere reale nu este fundamental: LIMITA FUNCTIEI LOGARITMICE LIMITA FUNCTIEI LOGARITMICE LIMITA FUNCTIEI TRIGONOMETRICE DIRECTE Deci limita functiei sinus intr-un punct de acumulare finit a(R se obtine inlocuind pe x cu a Daca a= ±∞ atunci f nu are limita Daca punctual de acumulare este finit adica, a(R atunci Deci limita functiei cosinus intr-un punct de acumulare finit a(R se obtine inlocuind pe x cu a Daca a apartine domeniului de definitie atunci : Se poate lua : Deci limita functie tangenta intr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe x cu a Deci limita functiei cotangenta intr-un punct de acumulare din domeniul de def se obtine inlocuind pe x cu a LIMITELE FUNCTIILOR TRIGONOMETRICE INVERSE OBSERVATIE :Pentru toate functiile elementare , limita functiei in orice punct al multimii de definitie a , se obtine inlocuind pe x cu a . OPERATII CU LIMITE DE FUNCTII LIMITE REMARCABILE 1. 2. 3. LIMITA FUNCTIEI TRIGONOMETRICE DIRECTE Deci limita functiei sinus intr-un punct de acumulare finit a(R se obtine inlocuind pe x cu a Daca a= ±∞ atunci f nu are limita Daca punctual de acumulare este finit adica, a(R atunci Deci limita functiei cosinus intr-un punct de acumulare finit a(R se obtine inlocuind pe x cu a Daca a apartine domeniului de definitie atunci : Se poate lua : Deci limita functie tangenta intr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe x cu a Deci limita functiei cotangenta intr-un punct de acumulare din domeniul de def se obtine inlocuind pe x cu a LIMITELE FUNCTIILOR TRIGONOMETRICE INVERSE OBSERVATIE :Pentru toate functiile elementare , limita functiei in orice punct al multimii de definitie a , se obtine inlocuind pe x cu a . OPERATII CU LIMITE DE FUNCTII LIMITE REMARCABILE 1. 2. 3. CUPRINS 1.Matrici......…………………………………………..pag3 *despre matrici *operatii cu matrici *propietatii *teorema lui Hamilton 2.Determinanti ..........................................pag7 *definitii *regula triunghiului *calculul inversei unei matrici *ecuatii matriciale 3.Sisteme de ecuatii liniare.........................pag 14 *metoda reducerii *metoda substitutiei *formulele lui CRAMER *metoda lui GAUSS 4.Chestiuni elementare despre siruri ...........pag13 *siruri de numere reale *operatii cu limite si siruri 5.Limite de functii........................................pag17 *limita functiei logaritmice *limita functiei trig directe *operatii cu limite *limite remarcabile *limita functiei trig inverse 쥁@