Referat Ecuatia De Gradul Al II-lea

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Ecuatia De Gradul Al II-lea si de asemenea puteti face Download Referat Ecuatia de gradul al II-lea

Citeste fragmente din Referat Ecuatia De Gradul Al II-lea

ECUAŢIA DE GRADUL AL II-LEA Fie problema: O casă are baza în formă de dreptunghi, cu lungimea de 13m şi lăţimea de 7,5m. Proprietarul doreşte să-şi construiască o bordură de ciment, de aceeaşi lăţime pe toate laturile casei (vezi desenul). Fondurile pe care le are îl obligă la o suprafaţă construibilă de 33m2. x 13m În condiţiile date, care este lăţimea maximă pe care o poate avea bordura casei? 7,5m Pentru rezolvarea acestei probleme notăm cu x, în metri, lăţimea bordurii şi putem scrie următoarea ecuaţie: 4x2 + 41x =33 ( 4x2 + 41x –33 = 0 Se observă că această ecuaţie este diferită de tipul de ecuaţii învăţate anterior. Deoarece necunoscuta x apare şi la puterea a doua, această ecuaţie spunem că se numeşte de gradul al II-lea. Forma generală a unei ecuaţii de gradul al II-lea este: ax2 + bx + c = 0 (1) unde a,b,c sunt numere reale, cu a ( 0. Această ecuaţie se numeşte de gradul al II-lea cu coeficienţi reali. Rezolvarea ecuaţiei (1) presupune determinarea tuturor soluţiilor (rădăcinilor) sale. Existenţa rădăcinilor reale precum şi numărul lor depind de expresia b2 – 4ac (2) care se numeşte discriminantul ecuaţiei de gr. al II-lea şi se notează cu (. Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuaţia are două rădăcini reale, diferite între ele: (3) În cazul în care ( = 0, atunci ecuaţia are două soluţii reale, egale: Putem avea şi două cazuri particulare de rezolvare a ecuaţiei (1) şi anume: a)Dacă coeficientul b al lui x este nul atunci ecuaţia devine: ax2 + c = 0 În această situaţie ecuaţia are două soluţii reale, egale numai dacă c ( 0 şi ele sunt: b)Dacă termenul liber c este egal cu zero. atunci forma ecuaţiei este: ax2 + bx = 0 Rezolvarea este: Ecuaţia de gradul al doilea, care are discriminantul ( ( 0, admite şi două forme particulare importante, şi anume: 1. Dacă în ecuaţia (1) coeficientul b al lui x este de forma: b = 2b1 atunci obţinem: ax2 + 2b1x + c = 0, pentru care discriminantul devine iar rădăcinile vor fi de forma . 2. Forma redusă a ecuaţiei de gradul al doilea. O ecuaţie de gradul al doilea se numeşte redusă dacă coeficientul lui x2 = 1. Forma generală a ecuaţiei reduse este: x2 + px + q = 0, unde p, q sunt numere reale. Dacă în relaţiile (1), (2), (3) înlocuim a, b, c respectiv cu 1, p, q vom obţine formula pentru rădăcinile ecuaţiei de gradul al doilea sub formă redusă: un set de relaţii cu aplicaţie practică: (4) Relaţiile (4) poartă denumirea de Relaţiile lui Viète. Cu aceste relaţii se poate deci calcula suma şi produsul rădăcinilor reale ale ecuaţiei (1) fără a le afla efectiv. s = x1 + x2 , p = x1 ( x2 (5) Aceste relaţii ne permit să formăm o ecuaţie de gr. al II-lea atunci când cunoaştem rădăcinile, astfel: 2 8 < @ | ~ ˆ Š æ è ~ € $ 2 : : < B D F ÿÿÿÿ F H J L p r æ r t v x z æ z | Œ æ 愀Ĥ & x2 – sx + p = 0 De utilitate practică mai este şi studiul semnelor rădăcinilor unei ecuaţii de gr al II-lea, mai ales când aceasta este cu parametru. Acest lucru se poate face studiind semnul discriminantului, sumei şi produsului rădăcinilor din relaţia (2), respectiv din relaţiile lui Viète (4). Se poate construi următorul tabel: (<0 Ecuaţia (1) nu are rădăcini reale. ((0 p>0 s>0 x1>0, x2>0 s<0 x1<0, x2<0 p<0 s>0 x1>0, x2<0, (x1(>(x2( s<0 x1>0, x2<0, (x1(<(x2( Observaţii: 1. Fie s = 0 . Ecuaţia are rădăcini reale numai dacă p ( 0. În acest caz avem x1 +x2 = 0 adică x1 = -x2 . 2. Fie p = 0 . Atunci x1 = 0 şi x2 = s. APLICAŢII Să rezolvăm ecuaţia problemei din introducerea lucrării: 4x2 + 41x – 33 = 0 ( = 412 – 4( 4 ( ( - 33) = 1681 + 528 = 2209 această soluţie nu este acceptabilă din punctul de vedere al problemei pentru că este negativă. Deci bordura casei va avea lăţimea maximă de 0,75m. 2. Să se studieze natura rădăcinilor ecuaţiei mx2 +(m – 1)x – (m – 2) = 0 în funcţie de parametrul real m. Vom calcula şi vom studia, mai întâi, semnul pentru (, s, şi p. (= (m –1)2 + 4m(m –2)= m2 – 2m +1 +4m2 – 8m = 5m2 – 10m +1 ( va fi negativ între valorile m1 şi m2 şi pozitiv în rest. -( 0 1 +( 1 – m + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - m - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + s - - - - - - - / + + + + + + 0 - - - - - - - - - + - + ( x1(x2(R-- 2 + - 0 ( x1(x2(R, x1=0, x2(0 ( 2; +( ) + - - ( x1(x2(R, x1(0, x2(0, (x1(((x2( PAGE PAGE 5 쥁@