Referat Geometrie2

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Geometrie2 si de asemenea puteti face Download Referat Geometrie2

Citeste fragmente din Referat Geometrie2

Geometrie Capitolul I Paralelism si calcul vectorial Vectori: definitie, elemente caracteristice Marimile caracterizate prin numar, directie si sens se numesc marimi vectoriale. Definitie: Multimea tuturor segmentelor orientate care au aceeasi lungime, aceeasi directie si acelasi sens cu ale unui segment orientat dat se numeste vector. Definitie: Doi vectori se numesc egali daca au : *acelasi modul, *aceeasi directie si *acelasi sens a = b Adunarea vectorilor Definitie: Fie a si b doi vectori. Numim suma vectorilor a si b un vector notat a + b, obtinut astfel: A fiind un punct oarecare din spatiu se construiesc bectorii AB= a si BC= b . Vectorul suma este vectorul AC . C b b A B a a Proprietati: (pentru orice vectori u, v, w ) *asociavitatea: u + (v + w) = (u + v) + w *vectorul nul este element neutru: u + 0 = 0 + u = u *pentru orice vector u exista vectorul –u(opusul lui u): u + (-u) = (-u) + u = 0 *comutativitatea: u + v = v + u Inmultirea unui vector cu un numar real Definitie: Vectorul (a , unde ( ( R este vectorul care are : *modulul: |(| . | a | *aceeasi directie cu a vectorului a . *sensul lui a , cand (>0; sens contrar lui a , cand (<0 Operatia care asociaza oricarui vector si oricarui numar real produsul lor se numeste inmultirea vectorilor cu numere reale. Proprietati: Pentru orice vectori u si v si orice numere ( si ( ( R: ( u + ( u = (( + () u ; (( ( u) = (( () u ; ( ( u + v ) = ( u + ( v Vectori coliniari. Puncte coliniare Definitie: Doi vectori care au aceiasi directie, fara a avea neaparat acelasi modul si acelasi sens , se numesc vectori coliniari. doi vectori sunt coliniari ( exista ( si ( ( R astfel incat u = ( v sau v = ( u Doi vectori care nu au aceiasi directie se numesc vectori necoliniari. Punctele A, B, C sunt coliniare daca exista ( ( R astfel incat AC = ( AB. Vectori coliniari. Drepte paralele AB || CD daca exista ( ( R astfel incat AB = ( CD Descompunerea unui vector dupa doua directii date. Coordonatele unui vector Definitie: Spunem ca doi vectori i si j necoliniari formeaza o baza a planului , care se noteaza ( i , j ) . Fie ( i , j) o baza a planului si O un punct oarecare din plan . Spunem ca tripletul (O, i , j ) este un reper cartezian in plan. In particular , daca i , j au directii perpendiculare , atunci reperul (O, i , j ) se numeste ortogonal. Daca | i | = | j | =1 ,atunci reperul es numeste ortonormat. Distanta dintre doua puncte Distanta dintre punctele A si B , reprezentate in sistemul ortogonal (O, i, j, ) este Observatie: Distanta dintre A si B reprezinta in acelasi timp modulul vectorului AB sau al vectorului BA . Ecuatia dreptei determinante de un punct si un vector director In reperul (O, i, j, ) ecuatia dreptei oblice* determinate de un punct A(x0, y0) si un vector u (t, s) director cu s (0 si t (0 este (x – x0) Daca t=0 se obtine dreapta x = x0 , care este paralela cu axa (O , j ) . Daca s=0 se obtine dreapta y = y0 , care este paralela cu axa (O , i ). *Ecuatia dreptei d determinate de punctul A(x0 , y0 ) si avand directia m este: y- y0 = m (x – x0) Ecuatia dreptei determinate de doua puncte Ecuatia dreptei d determinate de punctele A( x1, y1 ) si B( x2, y2 ) este Drepte paralele. Drepte concurente Toate dreptele din plan au o ecuatie de forma ax + by + c =0, unde a, b, c ( R , a (0 sau b ( 0. Reciproc, fie a, b, c trei numere reale astfel incat a ( 0 sau b ( 0. Multimea punctelor M(x, y) care verifica ecuatia ax + by + c =0 este o dreapta cu vectorul director u = (-b, a) . (unde b ( 0, b`( 0-n. red.) . Capitolul II Relatii metrice in plan si in spatiu utilizand elemente de trigonometrie Rezolvarea triunghiului dreptunghic; Repoarte constante in triunghiul dreptunghic Teorema inaltimii *Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii inaltimii duse din varful unghiului drept este egal cu produsul lungimiilor proiectiilor pe ipotenuza. AD2 = BD * DC Teorema catetei *Intr-un triunghi dreptunghic, patratul lungimii unei catete este egal cu produsul dintre lungimea ipotenuzei si lungimea proiectiei catetei pe ipotenuza. AB2 = BC * BD AC2 = BC * CD Teorema lui Pitagora *Intr-un triunghi dreptunghic patratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimii catetelor. BC2 = AB2 + AC2 AB2 = BC2 + AC2 AC2 = BC2 + AB2 2.Cercul trigonometric; periodicitate Se numeste radian (notat rad ) unghiul la centru care corespunde unui arc de lungime R al unui cerc de raza R. Definitii: *Un cerc de raza 1, orientat in sens direct, se numeste cerc trigonometric. *Un arc de cerc se numeste arc orientat daca se indica o ordine a capetelor sale. Periodicitatea Fie A o multime oarecare si f: A R o functie Functia f se numeste periodica daca ( T(R* astfel incat f (x+T)= f(x), orice x (A, pentru x +T , x –T (A. Numarul T, daca exista, se numeste perioada a functiei. Observam ca daca T este perioada, atunci kT este perioada pentru orice k(Z. Daca printre perioadele strict pozitive ala functiei f exista un cel mai mic numar T0, atunci acesta se numeste perioada principala a functiei f. Functii trigonometrice sin si cos ; Definitii: Fie t un numar real si M punctul de pe cercul trigonometric corespunzator lui t prin functia de acoperire a cercului. Se numeste cosinusul numarului real t abscisa punctului M si sinusul numarului real t ordonata punctului M . Se noteaza cos t, respectiv sin t, t ( R. Teorema: Pentru orice t(R, -1= sin t = 1 si -1= cos t = 1 Teorema: Pentru orice t(R, sin2t +cos2t =1 Teorema: Functiile sin si cos sunt periodice, avand perioada 2k-, k (Z. Perioada principala este To = 2- . i)f se numeste functie para daca f(-x) = f(x) ii)f se numeste functie impara daca f(-x) = -f(x) *Functia sinus este para iar functia cosinus este impara. Formulele pentru cos (a(b) si sin (a(b) *Oricare ar fi a, b(R, cos (a- b)= cos a cos b +sin a sin b *Oricare ar fi a, b(R, cos (a+ b)= cos a cos b – sin a sin b *Oricare ar fi a, b(R, sin(a- b)= sin a cos b – cos a sin b *Oricare ar fi a, b(R, sin(a+ b)= sin a cos b + cos a sin b Functiile trigonometrice tg si ctg , se numeste functia tangenta. , se numeste functia cotangenta. +k Ð, k(Z) situat pe C si punctul T definit astfel: {T}=d ( OM. Atunci ordonata punctului T este tg t. Teorema 2: Functiile tg si ctg sunt impare. Teorema 3: Functiile tg si ctg au perioada k Ð, k(Z . Perioada principala a acestor functii este Ð. Formule pentru tg( a ( b), ctg ( a ( b) si relatii deduse din acestea. Transformarea sumelor in produs . . (Formule pentru tg( a ( b) si ctg ( a ( b). . . (Transformarea sumelor in produse si a produselor in sume. sin(a+b) + sin(a-b) =2 sin a cos b sin(a+b) – sin(a-b) =2 cos a sin b cos(a+b) + cos(a-b) =2 cos a cos b cos(a+b) –cos(a-b) =-2 sin sin b. . . 7. Rezolvarea ecuatiilor de forma sin x=a, cos x= a, tg x=a si a unor ecuatii reductibile la acestea. Definitie: O ecuatie de forma sin x=a, cos x=b, tg x=c (a, b, c(R) se numeste ecuatie trigonometrica fundamentala. Observatie: Multimea solutiilor ecuatiei poate fi scrisa si sub forma +k( , k(Z Teorema sinusurilor.Teorema cosinusurilor. Teorema sinusurilor In orice triunghi ABC este adevarata relatia: Teorema cosinusului In orice triunghi ABC, a2= b2+ c2- 2b cos A Observatie: Din teorema cosinusului se deduc formulele: PAGE 1 Pentru orice puncte A, M, B are loc AM + MB = AB (1) Pentru orice puncte A, M, B are loc: MA – MB = BA (2) ( . u = 0 ( (=0 sau u = 0 Scrierea u = x a + y b se numeste descompunerea vectorului u dupa directiile vectoriilor a si b . P O Ü¥hà