Referat Locuri Geometrice

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Locuri Geometrice si de asemenea puteti face Download Referat Locuri geometrice

Citeste fragmente din Referat Locuri Geometrice

Locuri geometrice Def.: Locul geometric este mulţimea de puncte care au aceeaşi proprietate. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment dusă prin mijlocul segmentului. Existenţa şi unicitatea mediatoarea rezultă din faptul că mijlocul unui segment există şi este unic, perpendiculara printr-un punct al dreptei pe dreaptă există şi este unică. Teorema 1: Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului. . Teorema 2: Orice punct egal depărtat de capetele unui segment aparţine mediatoarei segmentului. , ceea ce înseamnă că MO este mediatoarea segmentului (AB). Aşadar mediatoarea unui segment este locul geometric al punctelor egal depărtate de capetele segmentului. Un alt exemplu de loc geometric este bisectoarea unui unghi. Bisectoarea unui unghi este dreapta care trece prin intersecţia a două drepte diferite, împărţind unghiul format de cele două drepte în două unghiuri congruente. Teorema 3: Bisectoarea unui unghi este locul geometric al punctelor din interiorul unghiului egal depărtate de laturile unghiului, reunit cu vârful unghiului. . OM bisectoare. Pe baza proprietăţilor de loc geometric ale bisectoarelor şi mediatoarelor se pot demonstra următoarele două teoreme referitoare la concurenţa bisectoarelor şi mediatoarelor unui triunghi. Teorema 4: Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente. rezultă că [CI este bisectoarea unghiului C. Teorema 5: Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. O aparţine mediatoarei segmentului (AC). Rezolvarea unor probleme de loc geometric Pe lângă bisectoarea, mediatoarea, cercul sau arcul, luate ca locuri geometrice, se mai pot adăuga şi: mulţimea punctelor situate la aceeaşi distanţă de o dreaptă dată d este reuniunea a două drepte paralele cu d, situate în semiplane diferite (Fig.2.1.); are o măsură dată este reuniunea a două semidrepte deschise, cu originea comună în A, situate în semiplane diferite faţă de AB (Fig.2.2.). Rezolvarea acestor probleme se realizează în două etape: prima este aceea în care se încearcă determinarea intuitivă a mulţimii respective, iar în etapa următoare se demonstrează efectiv că această mulţime este locul geometric căutat. Problemele au următorul tip: poziţia unui punct M se determină după o regulă dată în funcţie de poziţia altor puncte şi se cere să se afle locul geometric al punctelor M atunci când unul sau mai multe din celelalte puncte sunt variabile şi parcurg mulţimi date În prima etapă se încearcă găsirea unor puncte speciale ale locului geometric. Determinarea a trei puncte ale locului geometric poate sugera dacă este vorba despre un segment de dreaptă sau un arc de cerc, după care se încearcă a se demonstra presupunerea făcută. Astfel, dacă se presupune că punctul M descrie o dreaptă, se va demonstra, de exemplu, că M este la o distanţă constantă de o dreaptă dată sau că AM formează unghi constant cu o semidreaptă fixă. Dacă se presupune că este vorba despre un arc de cerc se va arăta, de exemplu, că punctele sunt la distanţă constantă de un punct fix sau determină un unghi de măsură constantă cu două puncte fixe şi este situat într-unul din cele două semiplane determinate de punctele fixe. După ce s-a arătat în acest fel că punctele locului geometric aparţin unei mulţimi M (o dreaptă, un cerc, un arc de cerc, etc) se continuă astfel: se arată că, reciproc, orice punct al mulţimii M aparţine locului geometric (în care caz locul geometric este M), sau că acest lucru nu este adevărat. . Exemple: Se dă triunghiul ABC, dreptunghic în A. Proiectăm în P, Q punctele B şi C pe o dreaptă variabilă d, care trece prin A. Să se afle locul geometric descris de mijlocul M al segmentului [PQ], când dreapta d se roteşte în jurul lui A. Rezolvare: . Dacă d ia poziţia AB, atunci P = B şi Q = A, deci C’ aparţine locului geometric, la fel B’. Se observă uşor că dacă d ajunge în poziţia AA’, punctul M este în A’. Deci A’, B’, C’ aparţin locului geometric, ceea ce ne conduce la presupunerea că locul căutat este cercul P circumscris dreptunghiului AC’A’B’. Urmând în gând mişcarea lui M când d se roteşte în jurul lui A, intuiţia întăreşte presupunerea noastră, ea devenind plauzibilă dar nu sigură. Este necesară o demonstraţie care se face în două etape. (Fig.2.3). fiind înscris într-un semicerc este drept; rezultă că BP’, A’N, CQ’ sunt paralele echidistante şi N este mijlocul lui [P’Q’]. Aşadar, N aparţine locului geometric. Dacă N = A, se duce perpendiculara prin A pe AA’ şi se proiectează pe ea B şi C în P”, Q”. Din nou se observă că A este mijlocul segmentului [P”Q”], deci şi în acest caz N aparţine locului geometric. Teorema 6: Locul geometric al punctelor care au aceeaşi putere faţă de două cercuri neconcentrice este o dreaptă perpendiculară pe linia centrelor, numită axa radicală a celor două cercuri. . Deci trebuie găsit locul geometric al punctelor pentru care diferenţa pătratelor distanţelor la două puncte fixe este constantă. Se foloseşte teorema lui Pitagora generalizată şi se ajunge la faptul că diferenţa este constantă. Teorema 7: Fiind date trei cercuri cu centrele necoliniare, axele lor radicale, luate două câte două, sunt concurente într-un punct ce se numeşte centrul radical al celor trei cercuri. , adică va aparţine celei de-a treia axe radicale. Construcţia axei radicale. Dacă două cercuri au un punct comun, axa lor radicală trece prin acest punct (căci are puterea zero faţă de ambele cercuri). Aşadar: În cazul cercurilor secante, axa radicală este secanta comună (Fig.3.1). Dacă cele două cercuri sunt tangente, axa radicală este tangenta comună (fiind perpendiculară pe linia centrelor) (Fig.3.2). În cazul a două cercuri fără puncte comune axa radicală se construieşte în felul următor: se trasează un cerc ajutător care să fie secant cu cele două cercuri (Fig.3.3). ducem axele radicale ale perechilor de cercuri şi le intersectăm în P. perpendiculara din P pe dreapta ce uneşte cele două centre ale cercurilor iniţiale este axa radical. este un cerc (Cercul lui Apollonius). . şi deci N aparţine locului geometric. Dacă k<1, se schimbă rolul lui A şi B şi se obţine nu cerc în semiplanul (dA. În cazul k = 1, locul geometric este mediatoarea d. O A B M O M B A O h k M B A B C A I E D O A C B A B C B’ A’ C’ Q P M d A B C A’ Q’ Q’’ P’’ P’ N r Fig. 3.1. Fig. 3.2. P Fig. 3.3. Fig. 1.1 Fig. 1.2 Fig. 1.3 Fig. 1.4 Fig. 1.5 d A B M M’ Fig. 2.1 Fig. 2.2 Fig. 2.3 Fig. 2.4 쥁