Referat Galilei

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Galilei si de asemenea puteti face Download Referat Galilei

Citeste fragmente din Referat Galilei

Transformări omotetice Fie o dreaptă orientată d şi un număr real nenul u. Dacă fixăm un punct ( ( d, atunci transformarea ce asociază fiecărui punct O ( d punctul M definit de relaţia (M = u (O (H) se numeşte omotetie de centru ( şi raport u pe d. Dacă u > 0, omotetia este directă, iar dacă u < 0, se numeşte indirectă. Omotetia inversă omotetiei (H) asociază fiecărui punct M ( d punctul O definit de relaţia (M (H’) Dacă presupunem definit un sistem de coordonate ( : d ( R cu originea ( şi notăm coordonatele punctelor O şi M cu t = ((O), s = ((M), atunci omotetiile (H) şi (H’) au reprezentarea analitică s = u t şi respectiv s Omotetia poate fi privită ca o mişcare. De exemplu, să considerăm punctul O’ definit de relaţia OO’ = a OM (H1) a fiind un număr pozitiv subunitar. Dacă fixăm punctul A dat de egalitatea OM şi definim sistemul de coordonate SA : d ( R cu proprietatea SA(O) = 0, SA(A) = 1, atunci punctelor O’ şi M li se asociază coordonatele s1 = SA(O’), s = SA(M) între care există relaţia s1 = a s (*) aceasta fiind expresia analitică a omotetiei (H1) de centru O şi raport a în sistemul de coordonate SA. Pe de altă parte, dacă în (*) efectuăm schimbarea de coordonate s = u t (**) şi notăm v = a u, atunci (*) devine s1 = v t (***) depinde de coordonata t = ((O). Dacă t parcurge mulţimea R+ a numerelor reale pozitive, atunci punctele O, O’ şi M parcurg semidreapta pozitivă cu originea ( în sistemul de coordonate (, iar punctele O’ şi M parcurg semidreapta pozitivă cu originea O în sistemul de coordonate SA. Deci putem vorbi de o mişcare (deplasare) duală a punctelor O, O’, M – sau a omotetiei (H1) - pe dreapta d. Deplasarea “externă” a omotetiei (H1) în sistemul de referinţă ( o numim “absolută”, iar deplasarea “internă” a omotetiei (H1) în sistemul de coordonate SA o numim “relativă”. Aşa cum rezultă din relaţiile (**) şi (***), în sistemul de coordonate SA mişcarea se exprimă prin două tipuri de coordonate, unele variabile, dependente de punctul căruia i se asociază şi altele fixe, independente de aceste puncte. Este vorba despre coordonatele s = SA(M), s1 = SA(O’) şi respectiv t = ((O). Pe de altă parte, în primul caz unităţile de măsură au valori fixe, independente de punctele considerate, iar în al doilea caz acestea au valori variabile, care depind de punctele considerate. Este vorba despre unitatea de măsură cu valoare unitară definită în sistemul de coordonate SA şi respectiv de unităţile de măsură de mărime v şi u care au rezultat în urma schimbărilor de coordonate. Mai precis, dacă pe mulţimea S a segmentelor definim o măsură Sm : S ( R+({0} cu proprietatea Sm(OO) = 0, Sm(OA) = 1, atunci în cazul unităţii de măsură m = OA definită de punctul unitate A avem Sm(m) = 1, iar în cazul unităţilor de măsură definite de relaţiile OO’ din (**), (***) şi relaţiile OM = s m = t h, OO’ = s1 m = t h1 rezultă h = u m, h1 = v m, deci Sm(h) = u, Sm(h1) = v. Dacă unităţile de măsură şi coordonatele fixe le numim “absolute”, iar pe cele care depind de punctul considerat le numim “relative”, atunci putem afirma că mişcarea în sistemul de coordonate SA se exprimă atît printr-un număr relativ de unităţi absolute, cît şi printr-un număr absolut de unităţi relative. Această reprezentare duală a mişcării relative a omotetiei (H1) definită de punctele O, O’, M în sistemul de coordonate SA este datorată faptului că omotetia (H) include (subordonează) omotetia (H1). Dacă nu ţinem cont de această subordonare, atunci utilizăm relaţiile (*) pentru a exprima analitic omotetia (H1). Putem relua observaţiile de mai sus, dacă ne referim la omotetia inversă (H’). De exemplu, dacă fixăm punctul B dat de egalitatea OM şi definim sistemul de coordonate TB : d ( R cu proprietatea TB(O) = 0, TB(B) = 1, atunci punctelor O’ şi M li se asociază coordonatele t1 = TB(O’), t = TB(M) între care există relaţia t1 = a t (*’) aceasta fiind expresia analitică a omotetiei (H1) de centru O şi raport a în sistemul de coordonate TB. Pe de altă parte, dacă în (*’) efectuăm schimbarea de coordonate s , atunci (*’) devine s s. Reluăm observaţiile de mai sus, pornind de la un segment oarecare OM ( d. Fie o dreaptă orientată d şi fie puctele O < A < B ( d. Dacă pe dreapta d definim un sistem carezian de coordonate SA : d ( R cu proprietatea SA(O) = 0, SA(A) = 1, cît şi un sistem cartezian de coordonate TB : d ( R cu proprietatea TB(O) = 0, TB(B) = 0, iar pe mulţimea S a segmentelor definim o măsură Sm : S ( R+({0} cu proprietatea Sm(OO) = 0, Sm(OA) = 1, cît şi o măsură Th : S ( R+({0} cu proprietatea Th(OO) = 0, Th(OB) = 1, atunci spunem că pe dreapta d am definit un sistem de referinţă cu originea O, sau că punctului O i-am asociat un sistem de referinţă. Notăm cu S acest sistem de referinţă şi cu m = OA, h = OB unităţile de măsură definite de punctele unitate A şi B. Intr-un sistem de referinţă există următoarea relaţie de echivalenţă între unităţile de măsură definite în sistemul de referinţă respectiv şi coordonatele care se asociază unui punct: fixarea în mod arbitrar a unităţilor de măsură şi determinarea în mod canonic a coordonatelor este echivalent cu fixarea în mod arbitrar a coordonatelor şi determinarea în mod canonic a unităţilor de măsură. Intr-adevăr, dacă notăm cu s = SA(M), t = TB(M) coordonatele care se asociază unui punct M de pe semidreapta pozitivă cu originea O, atunci segmentului OM i se asociază măsurile s = Sm(OM), t = Th(OM) şi putem scrie OM = s m = t h (() între unităţile de măsură m, h există relaţiile h (() = Th(m), iar conform (() şi (() rezultă că între coordonatele s, t există relaţiile s (1) Invers, din (() şi (1) rezultă ((), deci schimbările de unităţi de măsură (() sînt echivalente cu schimbările de coordonate (1). determinat de coordonata s pe axa coordonatelor sistemului cartezian TB), reprezintă cordonatele fixate în mod arbitrar şi respectiv unităţile de măsură determinate în mod canonic. Prin “schimbarea” unităţilor de măsură sau a coordonatelor se înlocuieşte, în dublu sens, un anumit tip de unităţi de mşură sau coordonate cu un alt tip de unităţi de măsură şi respectiv coordonate. Dacă utilizăm termenii de “relativ” şi “absolut” în loc de “determinat în mod canonic” şi respectiv de “fixat în mod arbitrar”, atunci putem afirma că într-un sistem de referinţă, un segment se reprezintă atît printr-un număr relativ de unităţi absolute, cît şi printr-un număr absolut de unităţi relative. Un exemplu, în acest sens, este segmentul OM descris de relaţiile ((). Un alt exemplu este dat în continuare. Să considerăm segmentul OO’ ( OM definit de relaţia OO’ = a OM (H1) unde a este un număr pozitiv subunitar. Dacă amplificăm relaţiile ((), (() şi (1) cu factorul a şi efectuăm notaţiile m1 = a m, h1 = a h, s1 = a s, t1 = a t, v = a u, atunci segmentul OO’ se reprezintă printr-un număr relativ de unităţi absolute şi printr-un număr absolut de unităţi relative conform relaţiilor OO’ = s1 m = t h1, OO’ = t1 h = s m1 ((1) unde unităţile de măsură relative se exprimă în funcţie de cele absolute conform relaţiilor h ((1) iar coordonatele relative se exprimă în funcţie de cele absolute conform relaţiilor s (2) Să mai remarcăm că dacă schimbăm originea sistemului de referinţă S din punctul O în punctul O’, atunci coordonatele s2, t2 care se asociază punctului M în raport cu noua origine a sistemului de referinţă S sînt date de relaţiile s (3) Desigur că există un punct ( < O şi un sistem de coordonate ( : d ( R cu originea în punctul ( astfel că punctele (, O şi M definesc omotetiile de centru ( exprimate de relaţile (M (H) avînd reprezentarea analitică (1) în sistemul de coordonate (. Dacă notăm cu ( unitatea de măsură în cazul sistemului de coordonate (, aceasta poate fi determinată pe baza relaţiei s m = (s – t) ( sau, echivalent, pe baza relaţiei t h = (s – t) ( acestea rezultînd pe baza egalităţii OM = (M - (O în care am ţinut cont de (() şi de faptul că (O = t (, (M = s (. definite de relaţia (H1) în sistemele de coordonate SA, TB. Vom spune că în sistemul de referinţă S fixat prin coordonatele absolute t = ((O), s = ((M), schimbările de coordonate (1), (2) şi (3) definesc mişcarea relativă a punctelor O’, M în în raport cu punctul O, respectiv mişcarea relativă a punctului M în raport cu punctul O’ în sistemele de cordonate SA şi TB cu originea O. Relaţiile (3) au fost deduse în ipoteza că O < O’ şi deci O’M = OM – OO’. Dacă am fi pornit de la ipoteza că O’ < O (în cazul omotetiei (H1) indirecte, a < 0), atunci ar fi trebuit să luăm în considerare egalitatea O’M = O’O + OM (~) şi am fi obţinut relaţiile s (31) în locul relaţiilor (3). Putem să exprimăm acest caz, dacă schimbăm punctele O şi O’ între ele, adică punctul O îl notăm cu O’, iar punctul O’ îl notăm cu O. Ca urmare, relaţia (~) devine OM = OO’ + O’M iar relaţia (H1) se scrie OO’ = a O’M (H2) In acest caz, sistemul de referinţă asociat punctului O’ îl notăm cu S’, acesta fiind definit de sistemele de coordonate S’A, T’B cu originea O’, iar coordonatele s, t, s1, t1, s2 şi t2 le notăm cu s’, t’, s’1, t’1, s’2 şi respectiv t’2 (unităţile de măsură m, h nu sînt afectate de aceste notaţii). Va rezulta că în sistemul de referinţă S’ asociat punctului O’, fixat prin coordonatele absolute t’ = ((O’), s’ = ((M) în sistemul de coordoate ( cu originea (, schimbările de coordonate s (1 ) şi respectiv s (2 ) definesc mişcarea relativă a punctelor O, M în raport cu punctul O’ în sistemele de cordonate S’A şi T’B cu originea O’, iar schimbările de coordonate s (3 ) definesc mişcarea relativă a punctului M în raport cu punctul O în aceste sisteme de coordonate. Acum putem compara coordonatele asociate punctului M în raport cu punctul O în sistemele de referinţă S şi S’, aşadar coordonatele s, t date de (1) cu coordonatele s’2, t’2 date de (3’) (în cazul relaţiilor (3) şi (31), această comparare ar fi fost mai dificilă). Va rezulta sistemul de ecuaţii s ) (4) care, rezolvat în raport cu s , t , conduce la soluţiile s) (4 ) dacă factorul k are valoarea (5) Constatăm că dacă factorul k are valoarea dată de (5), atunci ecuaţiile (4) sînt soluţiile sistemului de ecuaţii (4’). Pe de altă parte, constatăm că (4’) sînt relaţiile dintre coordonatele s’, t’ şi s2, t2 asociate punctului M în raport cu punctul O’ în sistemele de de coordonate S’ şi respectiv S. In concluzie, transformărle omotetice (4) şi (4’) exprimă legătura dintre omotetiile distincte (H1) şi (H2), diferenţa dintre acestea constînd în faptul că una este reală şi cealaltă virtuală, deci una dintre aceste omotetii exită în realitate, iar cealaltă există doar ca posibilitate. Exemplu. Dacă presupunem că O, O’, M sînt trei puncte materiale aflate în mişcare uniform-rectilinie pe o direcţie comună, care au pornit în acelaşi moment de timp şi din acelaşi loc din spaţiu, astfel că punctele O’ şi M se deplasează în acelaşi sens în sistemul de referinţă S asociat punctului O, iar punctele O şi M se depasează în sensuri opuse în sistemul de referinţă S’ asociat punctului O’, atunci putem utiliza relaţiile de mai sus pentru descrierea acestor mişcări, respectiv relaţiile (1), (2) (3) şi (1’), (2’), (3’). In primul caz, între punctele O, O’, M există intervalele spaţiu-tip (s, t), (s1, t1), (s2, t2) în locul-moment (s, t) în care se află sistemul de referinţă S, iar în al doilea caz, între acestea există intervalele spaţiu-timp (s’, t’), (s’1, t’1), (s’2, t’2) în locul-moment (s’, t’) în care se află sistemul de referinţă S’. In aceste cazuri, sistemului de referinţă îi atribuim dublul rol de instrument de măsură atît pentru spaţiu, cît şi pentru timp. Prin urmare, pe axa coordonatelor sistemului de referinţă reprezentăm atît coordonatele de spaţiu, acestea fiind determinate de un segment m considerat unitate de măsură pentru spaţiu, cît şi coordonatele de timp, acestea fiind determinate de un segment h considerat unitate de măsură pentru timp. Aşa cum am remarcat, într-un sistem de referinţă raportul unităţilor de măsură este egal cu raportul coordonatelor asociate unui punct şi poate fi orice număr real – deci dacă fixăm mai întîi unităţile de măsură (caz în care se presuupun necunoscute coordonatele), determinăm ulterior coordonatele respective, iar dacă fixăm mai întîi coordonatele (caz în care coordonatele se presupun cunoscute), determinăm ulterior unităţile de măsură. De exemplu, dacă sînt cunoscute coordonatele asociate punctului M, raportul acestora fiind un număr c > u, atunci schimbarea de coordonate s = c t implică schimbarea de unităţi de măsură h = c m. Ca urmare, unul dintre segmentele m = OA sau h = OB va avea o mărime diferită de cele considerate în cazul precedent (în care s = u t). Intr-un exemplu concret, sistemele de referinţă S şi S’ pot fi considerate o şosea rectilinie şi o platformă care se deplasează pe şosea cu viteza constantă v, iar punctul M, un observator care se deplasează în acelaşi sens cu platforma, cu viteza constantă u pe şosea - caz în care acesta va avea viteza u – v faţă de platformă, sau cu viteza u pe platformă - caz în care acesta va avea viteza u + v faţă de şosea. Alegerea variantei de deplasare cu viteza constantă u – pe şosea sau pe platformă – este o decizie a observatorului pe care acesta o poate lua atît în locul-moment iniţial (în care începe mişcarea), cît şi în orice alt loc-moment. Aşa cum se constată din relaţiile (4), (4’), intervalul spaţiu-timp real parcurs de observator într-un sistem de referinţă poate fi cel mult proporţional cu intervalul spaţiu-timp virtual parcurs de observator într-un alt sisem de referinţă. Din acest motiv, schimbarea sistemului de referinţă - sau trecerea dintr-un sistem de referinţă în altul - afectează (fizic) observatorul cu factorul de inerţie k dat de (5). 쥁