Referat Rezolvarea Ecuatiilor De Gradul III Si IV

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Rezolvarea Ecuatiilor De Gradul III Si IV si de asemenea puteti face Download Referat Rezolvarea ecuatiilor de gradul III si IV

Citeste fragmente din Referat Rezolvarea Ecuatiilor De Gradul III Si IV

Rezolvarea ecuatiilor de gradul III si IV Cardano s-a nascut intr-o localitate nu departe de Milano. Tatal sau era jurisconsult. Conform izvoarelor istorice el era un om luminat si de viata.Cunostea mai multe limbi straine, se ocupa de matematica, filosofie si traduceri. ştinte, personalitatii sale iesite din obisnuit. În 1534,Cardano încearca din nou sa obtina o slujba la Milano,dar abia peste un an reuseste sa i se dea dreptul de practicare a medicinei în acest oras. La Milano,Cardano are norocul sa vindece cateva personalitati de seama si astfel începe ascensiunea sa si începuturile unei vieti materiale mai bune, care-i permite sa se dedice exclusiv stiintei. Astfel,in 1539,publica la Nurnberg (în limba latina) ,,Arimetica practica’’,lucrare bine primita în Franta si Germania. In 1545 apare principala lucrare a lui Cardano în domeniul matematicii,intitulata ,,Ars magna sive de Regulis Algebraicis’’(,,Marea arta sau despre regulile algebrice’’),in care sunt incluse solutiile ecuatiilor generale de gradul III si IV,ultima problema fiind rezolvata de elevul sau Lodovico Ferrari. Cardano mai calatoreste in Scotia ca medic al arhiepiscopului John Hamilton ,pe care reuseste sa-l vindece de o boala grea. ştintelor (de astronomie,de fapt) un fel de astrolog oficial al papei.Regele Frantei si regina Scotiei l-au luat si ei la randul lor sub protectie,ceea ce este o dovada ca gloria sa stiintifica de medic si astrolog practicant era destul de mare. Astrologia îi va aduce totusi neplaceri lui Cardano. În 1554 scrie o carte intitulata ,,Asupra semnificatiei stelelor’’ în care are proasta inspiratie sa includa un horoscop al lui Iisus Hristos (alcatuit de el însusi). Inchizitia reuseste pe aceasta baza sa obtina in 1570 întemnitarea sa. La interventia unor prieteni supusi este eliberat peste doua luni ;mai ispaseste un ,,arest la domiciliu’’ de trei luni si primeste recomandarea de a nu mai preda sau a mai scrie carti. Cardano pleaca la Roma sa se puna direct sub protectia papei. In 1573,papa îi acorda o pensie suficienta pentru a se putea dedica activitatii stiintifice. In acesti ultimi ani ai vietii Cardano s-a scufundat printre manuscrisele sale.N-a mai predat,n-a mai publicat nimic,n-a mai practicat medicina. A lasat foarte multe lucrari nepublicate,printre care si o ,,Autobiografie’’, extrem de interesanta prin modul in care Cardano surprinde caracteristici ale epocii respective. In 1576, dupa unii biografi, Cardano s-a sinucis pentru a dovedi forta sa de astrolog prooroc,acesta fiind anul in care ar fi trebuit sa moara. Totusi, se pare ca Girolamo îsi proorocise disparitia exact la 5 decembrie 1573-deci cu trei ani mai devreme. Revenind la problema ecuatiei de gradul III, putem spune ca in realitate Cardano ,,n-a furat’’ solutia lui Tartaglia, incluzand-o fara voia acestuia in Ars Magna.Practic el a descoperit la Bologna manuscrisul lui del Ferro,dar care ulterior pierzandu-se,s-a crezut ca Girolamo a mintit relativ la existenta acestuia.Aproape patru secole mai tarziu, profesorul italian Ettore Bortolotti a redescoperit manuscrisul lui del Ferro si astfel,specialistii au putut avea revelatia faptului ca ,,magicianul Cardano “ a fost acuzat oarecum pe nedrept . Cardano are însa meritul de a fi investigat ecuatia de gradul III mai profund decat Tartaglia. Este poate util sa recapitulam-pe puncte-aceasta încalcita istorie: 1.-in jurul anului 1515,Scipione del Ferro, profesor la Universitatea din Bologna, da regula generala a rezolvarii ecuatiei: 2.-secretul nu este divulgat decat la doua persoane(una dintre ele: Antonio Fior). 3.-în 1530 are loc un turnir matematic (initiat de Giovanni Colla) la care se propun spre rezolvare ecuatii particulare de tipul: . 4.-participa la turnir Niccolo Tartaglia care rezolva problemele în timp record 5.-în 1535 Antonio Fior lanseaza si el un turnir, provocandu-l pe Tartaglia -s-au propus ecuatii de tipul: 6.-Tartaglia rezolva din nou problemele si propune alte ecuatii pe care însa Fior nu este în stare sa le solutioneze 7.-apare Cardano:scria în acest timp ,,Ars Magna” si roaga pe Tartaglia sa-i divulge secretul formulei -acesta refuza -ulterior cedeaza,dar sub rezerva nepublicarii acesteia 8.-în 1539,împreuna cu Lodovico Ferrari,Cardano publica în ,,Ars Magna” solutia lui del Ferro-Tartaglia 9.-Cardano da în plus reducerea unei ecuatii cubice complete la o ecuatie cubica doar cu trei termeni 10.-socotit multa vreme ,,delapidator” al lui Tartaglia , Cardano este ,,reabilitat” prin redescoperirea,în 1923,a manuscrisului original al lui del Ferro dată de Ferrari cuaţia de gradul III, desi aparent simpla,ascunde în sine mare bogatie de idei matematice. Sa intram putin în lumea ecuatiei de gradul III. În mod normal ar trebui sa începem cu rezolvarea ei. Fie deci: Ecuatia de gradul III se poate scrie în final : Cea mai utilizata metoda de rezolvare a acestei ecuatii este cea data de matematicianul olandez J. Hudde (1628-1704), care, printre altele, a fost si primar al Amsterdamului. Ideea lui a fost sa scrie radacina sub forma x=u+v si sa scrie apoi identitatea: sau de fapt: cu radacinile: pe care le scriem astfel: Obtinem imediat: fiind radacinile cubice ale unitatii. Ceea ce am scris mai sus poarta numele de FORMULA LUI CARDANO. Expresia: poarta numele de ,,discriminantul ecuatiei de gradul III “ si ea joaca un rol important în stabilirea naturii radacinilor acestei ecuatii. Sa examinam pe rand situatiile posibile.  =0. Evident, cel mai simplu, dar instructiv. Atunci: care se mai poate scrie: ,  atunci:  Din rezolvarea ecuatiei , stim ca : adica: Prin urmare x1 =u+u=2u=3q/p. si deci: are radacinile x1 =-4 si x2=x3 =2 . Într-adevar : deci: Atunci relatiile lui Viete dau: Avem deci: . Prin urmare: 0. Precizarea în plus la cazul nostru (>0) este aceea ca numai o singura radacina este reala. Daca q>0, atunci aceasta radacina este negativa; iar daca q<0 atunci ea este pozitiva . Sa dovedim aceste fapte.Avem deci : Fie acum p>0.Atunci: si deci u este pozitiv ,iar este evident negativ. Daca q>0, avem: iar daca q<0, avem inegalitatea ,,pe dos”. va fi pozitiv . Sa vedem ce se întampla daca p<0. Ei bine, situatia se mentine, deci concluzia enuntata mai sus ramane valabila. <0 furnizeaza trei radacini reale distincte . Demonstratia e relativ simpla , dar nu banala. <0, atunci fie (A real pozitiv), atunci: Întrucat avem de-a face cu un numar complex, , sa-ncercam sa-l scriem sub forma trigonometrica. Evaluam mai întai modulul: sunt : Asadar: , unde k=0,1,2. Se observa deci ca modulul lui u este . Asadar : În final, se obtin solutiile ecuatiei de gradul III sub forma trigonometrica: x3. În plus, daca q>0 avem doua radacini pozitive , iar daca q<0 avem o singura radacina pozitiva. Direct se procedeaza astfel: se considera binecunoscuta formula: care se scrie si asa: în x3 +px+q=0 si se obtine: Identificand cele doua ecuatii gasim imediat: Prima relatie este satisfacuta daca se ia: În timp ce a doua ne furnizeaza: a lui este asigurata daca p<0 si: Dar aceasta din urma relatie se mai scrie: <0. EXEMPLU (Kahane ,1958): Sa se rezolve trigonometric ecuatia: x3 –21x-20=0 Formula lui Cardano ne da: unde: Se va alege : în care: Asadar: si unde k=0,1,2. Radacinile sunt deci: Avem: Atunci : Exista si alte metode de rezolvare a ecuatiei de gradul III. Într-un curs mai vechi de algebra al lui Niewenglowski(1921)am gasit un procedeu care foloseste asa-numitul ,,Hessian” al polinomului de gradul III. LODOVICO FERRARI şi înfrângerea ecuaţiei de gradul IV Rezolvarea ecuatiei complete de gradul IV are loc relativ cam în aceeasi perioada cu aceea a ecuatiei de gradul III. Conform scrierilor istorice,Cardano înfiaza practic pe un elev al sau ,pe nume Lodovico Ferrari din Bologna ,talent ,matematic de mare forta.   ̟遪 䩏䩑ࡕ嘁Ĉ̟䭪 a lui Ferrari de rezolvare a ecuatiei de gradul IV. Ferrari a ajuns la solutia generala a ecuatiei de gradul IV tot în urma unei întreceri publice. Conform cu Pietro Cossali(1748-1815), care a scris prin 1797 o istorie a algebrei, Giovanni Colla a propus lui Tartaglia o problema ce conduce la urmatorul sistem de ecuatii: Prin eliminarea lui y si z, Tartaglia obtine ecuatia de gradul IV Venind în contact cu disputa între Colla si Tartaglia ,Cardano îl atrage pe Ferrari în rezolvarea problemei. Acesta o rezolva în timp record, Cardano avand timpul necesar sa includa metoda în celebra ,,Ars Magna” (1545). Practic, Ferrari a considerat o ecuatie de tipul: R pe care, dupa o serie de artificii convenabile, o aduce la o asa-numita rezolventa de gradul III: Sa consideram acum ecuatia de gradul IV sub forma uzuala: x4 +px2 +qx+r=0 real, are loc identitatea: astfel încat sa aiba loc relatia: (adica discriminantul trinomului din paranteza dreapta sa fie nul). Ecuatia respectiva este de gradul III (rezolventa 1), deci odata determinat se poate scrie: adica la doua ecuatii simple de grad II . Consideram polinomul general de grad IV P(x)=x4 +ax3 +bx2 +cx+d si dorim sa-l transformam astfel ca acesta sa poata fi scris ca diferenta a doua patrate perfecte: sau Introducem o necunoscuta auxiliara z în felul urmator : sau înca: unde evident: adica: care nu este altceva decat rezolventa în cazul general. Facem o observatie interesanta: daca z0 este o radacina rationala a rezolvantei de mai înainte si expresiile: sunt numere rationale, atunci polinomul P(x)= x4 +ax3 +bx2 +cx+d este reductibil în campul numerelor rationale. EXEMPLU: fie polinomul P(x)=6x4 –7x3 +x2 –2. Consideram polinomul înrudit : si alcatuim rezolvarea acestuia: sau, prin substitutia 2z=u, obtinem rezolventa 180u3 –18u2 +144u+25=0 Calculam pe rand expresiile: , deci este reductibil. PAGE PAGE 11 쥁`