Referat Integrale Definite-sume Riemann

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Integrale Definite-sume Riemann si de asemenea puteti face Download Referat integrale definite-sume Riemann

Citeste fragmente din Referat Integrale Definite-sume Riemann

INTEGRALE DEFINITE SUME RIEMANN Definitie: Se da colectia de obiecte: [a,b] – interval inchis (– diviziune a intervalului [a,b] ( = (a=x00,( ((>0 cu proprietatea ca ( ( o diviziune a intervalului [a,b] si ((i) un sistem de puncte intermediare, (i ( [xi-1,xi] cu ||(||<(( sa avem |(((f,(i) – if |<(. if – se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul [a,b] b notez: if = ( f(x)*dx. a b Obs: 1) Numarul real if este unic; ( f(x)*dx este unica. a Demonstratie: P.p.a. ca ( i1(i2 care verifica conditiile din definitie, atunci pentru ( (>0 ( (k,(>0 (k=1,2) astfel incat pentru orice diviziune: (=(x0,x1,…,xn) a lui [a,b] cu ||(|| < (( si orice puncte intermediare xi-1 ( (i ( xi (1 ( i ( n) sa avem: |(((f,()-ik|<(/2 (k=1,2). Luand (( = min((1,( , (2,() rezulta ca pentru orice diviziune ( a lui [a,b] cu ||(||<(( si orice sistem ((i) de puncte intermediare asociat lui (, avem: |(((f,()-i1| < (/2 si |(((f,()-i2| < (/2, deci: |i1– i2| < |i1– (((f,()| + |(((f,()-i2| < (/2+(/2 = (. Cum ( > 0 a fost luat arbitrar, rezulta i1=i2; dar din ipoteza i1(i2 ( contradictie. Deci if este unic. 2) f:[a,b](R f – integrabila in sens Riemann pe [a,b] ( f marginita pe [a,b] Demonstratie: f – integrabila pe [a,b] ( ( if ( R a.i. ( ( o diviziune a lui [a,b] si ( (>0, ( ((>0 pentru care ||(||<(( ( |(((f,(i) – if |<( ( (i un sistem de puncte intemediare. Arat ca f este marginita pe [xk-1,xk] ( x, i(k Fie (i=( (xi, i=k n n (((f,(i) = ( f((i)*(xi-xi-1) = ( f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1) i=1 i=1 i(k |(((f,(i) – if | < ( –( < (((f,(i) – if < ( /+ if –( + if < (((f,(i) < ( + if n –( + if < ( f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1) < ( + if i=1 i(k 1/(xk-xk-1)*[ – ( + if – ( f(xi)*(xi-xi-1)] < f(x) < 1/(xk-xk-1)*[ – ( + if – ( f(xi)*(xi-xi-1)] [(((((((((((((((((((((((((((((] [(((((((((((((((((((((((((((((] M1 M2 M1< f(x) < M2 ( f – marginita pe [xk-1,xk] ( k ( {1,2,…,n} ( f – marginita pe [a,b] 3) f,g:[a,b]( R A([a,b] A finita, cu proprietea: g integrabila pe [a,b] f(x)=g(x) (x([a,b]A atunci: a) f – integrabila pe [a,b] b b b) ( g(x)*dx = ( f(x)*dx a a Demonstratie: Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A={c}. Functia g fiind integrabila, este marginita, deci ( M1 ( 0 astfel incat: |g(x)| ( M1 ( x([a,b] Luand M = max( M1, |f(c)| ) ( f(x) ( M si g(x) ( M ( x([a,b]. g – integrabila ( ( ( > 0, ( (’( > 0 a.i.: b | (((g,(i) – ( g(x)*dx | < (/2 a ( ( = (x0, x1,…,xn), cu ||(|| < (’( si ( sistemul de puncte intermediare (i. Luand (( = min ((’(, (/(8*M) ), avem (( ( (( si 4*M*(( ( (/2. Daca c este un punct al diviziunii (, atunci ( 0 ( i ( n astfel incat c = xj. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele (j sau (j+1. Deci tinand seama de faptul ca f(x) = g(x) ( x ( c, obtinem: | (((g,(i) – (((f,(i) | = | ( ( g((i) – f((i) )*( xi – xi-1 )| ( | g((j) – f((j)|*(xj – xj-1) + | g((j+1) – – f((j+1)|*(xj+1 – xj) ( 4*M*||(|| < 4*M*(( < (/2 Daca c nu este punct al diviziunii (, atunci c este continut intr-un interval deschis (xk-1,xk). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul (k, prin urmare: | (((g,(i) – (((f,(i) | = | ( ( g((i) – f((i) )*( xi – xi-1 )| ( | g((k) – f((k)|*(xk – xk-1) ( 2*M*||(|| ( ( 2*M*(( < (/2 Din analiza facuta pana acum rezulta ca: | (((g,(i) – (((f,(i) | < (/2 Din 1) si 2) obtinem: b | (((f,(i) – ( g(x)*dx | < ( a b b adica f este integrabila si: ( f(x)*dx = ( g(x)*dx. a a EXEMPLE: f:[a,b]( R f(x) = k a ( f – integrabila si ( k*dx = k*(b-a) b ( if = k*(b-a) a.i. ( ( > 0 ( (( > 0 cu proprietatea ca ( (= (x0=a0. f,g:[a,b]( R ( 1, pentru x(Q (-1, pentru x(Q f(x) = ( g(x) = ( (-1, pentru x(RQ ( 1, pentru x(RQ f,g – nu sunt integrabile Demonstratie pentru f(x) : Fie (= (a=x00, vom alege di-viziunea in asa fel incat suma lungimilor celor 2k intervale sa fie inferioara numarului (/2. Aceasta se poate realiza alegand norma diviziunii suficeint de mica. Notam d1”, d2”,… d2m” celelalte intervale partiale ale diviziunii. Intervalele di” (i = 1, 2, …, m) contin, in afara de puncte irationale in care valoarea functiei este 0, puncte rationale de forma x = p/q, q>N, si astfel ca G(p/q) = =1/q<1/N. Deci : 2k m Sd(G) – sd(G) = ( (Mi’ – mi’)(i’ + ( (Mi” – mi”)(i” i=1 i=1 Am notat cu Mi’, respectiv mi’ marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di’ si cu Mi”, respectiv mi” marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di”, (i’ este lungimea lui di’, iar (i” este lungimea lui di”. Deoarece Mi’ – mi’<1, mi” = 0, Mi”<1/N, ( i, avem 2k m Sd(G) – sd(G) < ( (i’ + (1/N)*( (i” < (/2 + 1/N. i=1 i=1 Daca N > 2/(, atunci 1/N < (/2 si Sd(G) – sd(G) < (. Putem calcula efectiv valoarea integralei. Deoarece in orice interval valoarea minima a 1 functiei este 0, avem sd(G) = 0, ( (; rezulta I = ( G(x)dx = 0. Datorita integrabilitatii functiei 0 G, avem : 1 (G(x)dx = 0. 0 Integrabilitatea functiei se mai putea stabili tinand seama de faptul ca multimea puncte-lor ei de discontinuitate este multimea numerelor rationale care este numarabila, deci neglija-bila. 쥁