Referat Teorem Lui Ceva

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Teorem Lui Ceva si de asemenea puteti face Download Referat Teorem lui Ceva

Citeste fragmente din Referat Teorem Lui Ceva

Teorema lui Ceva Fie ABC un triunghi şi punctele MAB, NBC şi PAC astfel încât MA = MB, NB = NC, PC = PA. Atunci dreptele AN, BP, CM sunt concurente dacă şi numai dacă  = . Demonstraţie: AN. Aplicăm teorema lui Menelau pentru triunghiul ABN şi transversala CM. Se obţine relaţia MA : MB • CB : CN • ON : OA = 1 sau (ON:OA) = [1:α(1- β)], (1). Din teorema lui Menelau în triunghiul ACN şi transversala BP obţinem: BN : BC • PC : PA • SA : SN = 1, de unde rezultă că: SA : SN = 1: γ • (1- 1:β), (2). Dreptele AN, BP, CM sunt concurente dacă şi numai dacă O = S. Din relaţiile (1) şi (2) se obţine că α (1-β) = 1 : γ [(β-1) : β] sau (1-β) • (1 + αβγ) = 0. Dacă β ≠ 1 atunci αβγ = -1 şi teorema este demonstrată. Dacă β = 1 atunci NB = NC sau BC = 0 ceea ce nu se poate. Problemă: - " & ( H ( * 2 4 D V z | ¾ l t z € ž   ¦ ¨ ¸ º ¼ ¾ À Â Ä Æ È Î Ð â ä æ ð ò ô ö ü @să fie concurente în P. Să se arate că dacă dreptele EF, DE, DF intersectează dreptele BC, AB, AC în punctele M, N, Q atunci punctele M, N, Q sunt coliniare.  Soluţie: Din teorema lui Ceva în triunghiul ABC se obţine BD : DC • EC : AE • AF : FB = 1. Aplicăm teorema lui Menelau în triunghiul ABC cu transversalele EF, DE, DF. Rezultă că MB : MC • CE : AE • AF: FB = 1, NA : NB • BD : DC • CE : EA = 1, QA : QC • CD : DB • FB : FA = 1. Din aceste relaţii obţinem: MB : MC • NA : NB • QC: QA = AE : CE • FB : AF • DC : BD • AE : CE • CD : DB • •FB : FA = (DC : DB • AE : CE • FB : FA)² = 1. Din reciproca teoremei lui Menelau rezultă că punctele M, N, Q sunt coliniare. Dreapta QMN se numeşte polara triliniară a punctului P în raport cu triunghiul ABC. 쥁@