Referat Geometrie
Mai jos puteti citi fragmente din
Referat Geometrie si de asemenea puteti face
Download Referat GeometrieCiteste fragmente din Referat Geometrie
Perpendicularitate
Def. : Doua drepte sunt perpendiculare daca determina un unghi drept.
Not. : d1 d2
Desen. :
d2
d1
Def.: Prin distanta de la un punct la o dreapta se intelege distanta de
la punct la piciorul perpendicularei din punct pe dreapta.
Cazurile de congruenta pt. triunghiurile dreptunghice
Cazul C.C (cateta-cateta) : Doua derptunghiuri care au catetele
respectiv congruente sunt congruente.
Cazul C.U. ( Cateta-unghi) : Doua dreptunghiuri ce au cate o cateta si
unghiul ascutit respective congruente sunt gongruente.
Cazul I.U .(ipotenuza- unghi) : Daca doua dreptunghiuri care au
ipotenuza si unghiul ascutit respecttiv congruente sunt coingruente.
Cazul I.U. (ipotenuza-cateta) : Daca doua dreptunghiuri care au
ipotenuza si cate o cateta respective congruente sunt congruente.
P : Punctele de pe bisectoarea unui unghi se afla la aceeasi
distanta fata de laturile unghiului.
P : Daca un punct situate in interiorul unghiului se afla la
distante egale de laturile unghiului atunci el este situate pe
bisectoarea unghiului.
T : Bisectoarele unghiurilor unui tringhi sunt concurente.
MEDIATOAREA
Def. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculara pe segment in
mijlocul sau.
d
A M B
d= mediatoarea lui [AB]
M= mijlocul lui [AB] => M E d , d AB
P : Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal departat de
capetele segmentului.
Reciproc: Orice punct egl dapartat de capetele unui segment se afla pe
mediatoarea segmentului.
T: Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente.
Inaltimile unui tringhi
Def. : Inaltimea unui triunghi este perpendiculara din varf pe latura
opusa.
T. : In orice triunghi inaltimile sunt concurente. Punctul de
intersectie al inaltimilor se numeste ortocentru.
Drepte taiate de o secanta
Def. : O dreapta este secanta a altor doua drepte daca intersectia
dreptei date cu cele doua drepte este formata din doua puncte diferite.
Unghiuri: alterne interne, alterne externe, interne de aceeasi parte,
externe de aceeasi parte, corespondente.
DREPTE PARALELE
Def. ; Doua drepte sunt paralele daca sunt situate in acelasi plan sin u
au nuci un punct comun.
Axioma paralelelor: (Euclid) : Printr-un punct exterior unei drepte se
poate duce o singura paralela la dreapta data.
Tranzitivitatea paralelismului : Doua drepte paralele cu a treia
dreapta sunt paralele intre ele.
Drepte paralele taiate de o secanta
Teorema unghiurilor alterne interne: Doua drepte taiate de o secanta
sunt paralele daca si numai daca unghiurile alterne interne care se
formeaza sunt congruente.
Consecinte: 1. Doua drepte taiate de o secanta sunt paralele daca si
numai daca unghiurile externe sunt congruente.
2. Doua drepte taiate de o secanta sunt paralele daca si numai daca
unghiurile corespondente sunt congruente.
3. Doua drepte taiate de o secanta sunt paralele daca si numai daca
unghiurile interne de aceeasi parte sunt suplementare.
4. Doua drepte taiate de o secanta sunt paralele daca si numai daca
unghiurile externe de aceeasi parte sunt suplementare.
Mediana
Def. : Se numeste mediana segmentul determinat de un varf al
triunghiului si mijlocul laturii opuse.
A
AD- mediana
B C
D
Medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersectie al
medianelor, G, se numeste centru de greutate al triunghiului dat.
T. : Doua unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt congruente sau
suplementare.
Teorema paralelelor taiate de paralele: Doua drepte paralele
intersectate de alte doua drepte paralele determina segmente
congruente.
Teroema paralelelor echidistante: Trei sau mai multe drepte paralele
echidistante determina pe orice secanta segmente congruente.
Linia mijlocie
Def. : Se numeste linie mijlocie a unui triunghi segmentul determinat
de mijloacele a doua laturi ale triunghiului.
A
M N
B P C
T. : Linia mijlocie determinata de doua laturi ale unui triunghi este
paralela cu a treia latura si are lungimea jumatate din lungimea celei
de-a treia laturi.
Reciproc : Paralela prin mijloc unei laturi la una din laturile unui
triunghi trece prin mijlocul laturii ramase.
Unghi exterior unui triunghi
Def. : Numim unghi exterior al unui triunghi unghiul format de o latura
a triunghiului si prelungirea altei laturi.
A
C 2 D
B 1
E
Obs. : Unghiul exterior este adiacent si suplementar cu unghiul
triunghiului.
Teorema unghiului exterior: Masura unui unghi exterior al unui triunghi
este egala cu suma masurilor unghiurilor neadiacente cu el.
Obs. : Un unghi exterior este mai mare decat oricare din unghiurile
neadiacente cu el.
Medianele unui triunghi
Centrul de greutate este situat pe fiecare mediana la o treime de baza
si doua treimi de varf.
Triunghiul isoscel
Def. : Triunghiul isoscel este triunghiul care are doua laturi
congruente.
A
B C
Proprietati: 1. Un triunghi este isoscel daca si numai daca unghiurile
de la baza sunt congruente.
2. Intr-un triunghi isoscel inaltimea corespunzatoare bazei este si
mediana si bisectoare si mediatoare.
Reciproce : 1. Daca intr-un triunghi o mediana este si inaltime atunci
triunghil este isoscel.
2. Daca intr-un triunghi o bisectoare este si mediana atunci
triunghiul este isoscel.
Triunghiul echilateral
Def. : Triunghiul echilateral este triunghiul care are toate laturile
congruente.
P. : Triunghiul echilateral are toate unghiurile congruente, fiecare,
avand masura de 60°.
Reciproc : Daca un triunghi are toate unghiurile congruente atunci
triunghiul este echilateral.
Obs. : Orice triunghi echilateral poate fi considerat triunghi isoscel
avand baza oricare din cele 3 laturi. => Proprietatile triunghiului
isoscel raman valabile, mai mult, au loc pentru oricare din cele 3
laturi.
P. : Un triunghi isoscel care are un unghi de 60° este echilateral.
Triunghiul dreptunghic
Def Triunghiul care are un unghi drept se numeste dreptunghic. Laturile
care formeaza unghiul drept se numesc catete. Latura opusa unhiului
drept se numeste ipotenuza.
Triunghiul dreptunghic isoscel are catetele congruente.
A
B C
Proprietati: 1. Intr-un triunhi dreptunghic suma masurilor unghiurilor
ascutite este de 90°.
2. Intr-un triunghi dreptunghic isoscel unghiurile ascutite au
fiecare 45
3. Intr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunzatoare
ipotenuzei este jumatate din lungimea ipotenuzei.
Reciproce: 1. Daca un triunghi dreptunghic are un unghi ascutit de 45
atunci triunghiul este isoscel.
2. Daca intr-un triunghi lungimea unei mediane este jumatate din
lungimea laturii corespunzatoare atunci triunghiul este dreptunghic.
Teorema 30-60-90 : Intr-un triunghi dreptunghic cateta care se opune
unghiului de 30 este jumatate din ipotenuza.
Reciproc : Daca intr-un triunghi dreptunghic o cateta este jumatate din
ipotenuza atunci unghiul opus catetei respective este de 30.
Relatii intrte laturile si unghiurile unui triunghi
P. : In orice triunghi unghiului mai mare i se opune latura mai mare.
Reciproc : In orice triunghi laturii mai mare i se opune unghiul mai
mare.
Caz particular : 1.In orice triughi dreptunghic lungimea ipotenuzei
este mai mare decat lungimea oricarei alte catete.
2. Dintre doua oblice este mai mare cea care are piciorul mai
departat de piciorul perpendicularei.
P. : In orice triunghi suma lungimilor a doua laturi este mai mare
decat lungimea celei de-a treia laturi.
Poligoane
Def. : Fiind date punctele A1,A2,A3,…….,An se numeste linie
poligonala reuniunea segmentelor.
Ex. :
A1
A4 A4
A2
A3
Linia poligonala : - deschisa
inchisa
Def. : Se numeste o linie poligonala inchisa care are doua laturi
vecine cu suporturi diferite si orice doua laturi nevecine disjuncte.
Suportul laturii (A3,A4) = dreapta A3, A4
Clasificare : - 3 laturi => triunghi
4 laturi => patrulater
5 laturi => pentagon
6 laturi => hexgon
8 laturi=> octogon
Patrulatere
Def. : Se numeste patrulater convex patrulaterul cu proprietatea ca pt
orice latura fixate celelalte doua varfuri se afla de o parte si de alta
a laturii fixate.
P. : Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este de 360.
Patrulatere speciale. Paralelogramul
Def. Patrulaterul care are laturile opuse paralele se numeste
parallelogram.
A B
O
C
D
Proprietati : Laturi : Laturile opuse intr-un paralelogram sunt
congruente.
Unghiuri : Intr-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente
iar unghiurile alaturate sunt suplemetare.
Diagonale : Intr-un paralelogram diagonalele se injumatatesc.
Reciproce : Laturi : Daca un patrulater are laturile opuse congruente
atunci el este paralelogram.
Laturi : Daca un patrulater are o pereche de laturi opuse congruente
atunci patrulaterul este paralelogram.
Unghiuri : Daca intr-un patrulater unghiurile opuse sunt congruente
atunci patrulaterul este paralelogram
Diagonale : Daca intr-un patrulater diagonalele se injumatatesc
atunci patrulaterul este paralelogram
Paralelograme particulare. Dreptunghiul
Def. : Dreptunghiul : este paralelogramul care are un unghi drept.
A B
D C
Proprietati: 1. Dreptunghiul are toate unghiurile drepte.
Specifica 2. Intr-un dreptunghi diagonalele sunt congruente.
Reciproce : 1. Daca un paralelogram are diagonalele congruente atunci
el este dreptunghi.
Obs. Dreptunghiul fiind un paralelogram are toate proprietatile
paralelogramului
Rombul
Def. Este paralelogramul cu doua laturi consecutive congruente.
P. : Toate laturile rombului sunt congruente.
Obs. : Rombul fiind un paralelogram are toate proprietatile
paralelogramului
Proprietati specifice rombului: 1. Diagonalele intr-un romb sunt
perpendiculare.
2. Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor din
care pornesc.
Reciproce : 1. Daca intr-un parallelogram toate laturile sunt
congruente atunci el este romb.
2. Daca intr-un parallelogram diagonalele sunt perpendiculare atunci
el este romb.
3. Daca intr-un parallelogram diagonalele sunt bisectoarele
unghiurilor din care pornesc atunci el este romb.
Patratul
Def. 1. Este rombul cu un unghi drept.
2. Este dreptunghiul cu 2 laturi consecutive congruente.
3. Este paralelogramul care este si dreptunghi si romb.
Proprietati : Unghiuri- Patratul are unghiurile drepte.
Laturi – Patratul are toate laturile egale.
Diagonale : Diagonalele sunt: - injumatatite (paralelogramul)
congruente (dreptunghi)
perpendiculare romb
bisectoare
A D
B C
ì¥Â@
