Referat Logica Propozitiilor

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Logica Propozitiilor si de asemenea puteti face Download Referat Logica propozitiilor

Citeste fragmente din Referat Logica Propozitiilor

Logica propoziţiilor În logică, prin propoziţie înţelegem un enunţ care poate fi ori adevărat ori fals. Oricărei propoziţii i se asociază o valoare de adevăr: este sau adevărată – şi atunci spunem că are valoarea de adevăr 1 – sau este falsă – şi atunci spunem că are valoarea de adevăr 0. Nici o propoziţie nu este în acelaşi timp şi adevărată şi falsă. Exemple de propoziţii: “2 + 3 = 6” “Bucureşti este capitala României” “5 este număr prim” Prima din aceste propoziţii are valoarea de adevăr 0, celelalte două au valoarea de adevăr 1. Propoziţiile interogative sau exclamative ale limbii nu sunt propoziţii în logică. De asemenea, definiţiile nu sunt propoziţii. De exemplu, enunţul "un număr întreg divizibil cu 2 se numeşte număr par" nu este o propoziţie. Însă enunţul “orice număr par este divizibil cu 2” este propoziţie şi are valoarea de adevăr 1. Operatori logici Cu ajutorul operatorilor logici, din una sau două propoziţii date se pot forma noi propoziţii a căror valoare de adevăr depinde numai de valoarea de adevăr a propoziţiilor date. Vom indica această valoare de adevăr cu ajutorul unor tabele: în partea stângă a tabelului apar toate valorile de adevăr posibile ale propoziţiilor date iar în partea dreapta, valoarea de adevăr a propoziţiei nou formate. (negaţia),  (disjuncţia)  (conjuncţia),  (implicaţia),  (echivalenţa). Negaţia a b a 1 0 1 0 1 0 a în este indicată în tabelul alăturat (tabla de adevăr a negaţiei): Exemplu Propoziţia b = "nu este adevărat că 9 este număr par" care coincide cu "9 nu este număr par" este negaţia propoziţiei a = "9 este număr par" a este adevărată. Disjuncţia propoziţiilor a b a  b 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Disjuncţia propoziţiilor a şi b este propoziţia "a sau b" care se notează a  b. Propoziţia a  b este falsă dacă şi numai dacă ambele propoziţii a şi b sunt false. Tabla de adevăr a disjuncţiei este prezentată în tabelul alăturat. Exemplu Propoziţia: "7 este număr prim sau 6 este număr impar" este adevărată. fiind disjuncţia a două propoziţii dintre care una este adevărată. Conjuncţia propoziţiilor a b a  b 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Conjuncţia propoziţiilor a şi b este propoziţia "a şi b" care se notează a  b. Propoziţia a  b este adevărată dacă şi numai dacă ambele propoziţii a şi b sunt adevărate. Tabla de adevăr a conjuncţiei este prezentată în tabelul alăturat. Exemplu Propoziţia: "7 este număr prim şi 6 este număr impar" este o propoziţie falsă fiind conjuncţia a propoziţiilor: "7 este număr prim" şi "6 este număr impar”, prima fiind adevărată iar a doua falsă. Implicaţia propoziţiilor a b a  b 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Implicaţia propoziţiilor a şi b este propoziţia "a implică b" care se mai poate citi "dacă a atunci b" sau "din a rezultă b" şi se notează a  b. Propoziţia a  b se mai numeşte şi implicaţia de sursă a şi capăt b, Ea este o propoziţie falsă, dacă şi numai dacă sursa este o propoziţie adevărată, iar capătul o propoziţie falsă. Tabla de adevăr a implicaţiei este prezentată în tabelul alăturat. Exemple Propoziţia: "dacă 5 este număr prim, atunci 6 + 2 = 4" este o propoziţie falsă fiind o implicaţie a cărei sursă este o propoziţie adevărată, In timp ce capătul este o propoziţie falsă. Propoziţia "dacă 2 + 2 = 5, atunci 6 este număr impar" este adevărată fiind o implicaţie a cărei sursă este o propoziţie falsă. Dacă propoziţia a  b este adevărată, scriem a  b şi spunem. că, b este o consecinţă logică a lui a. De exemplu avem: "2 + 2 = 5”  "6 este număr impar" dar nu avem (nu este adevărat că) "5 este număr prim"  "6 + 2 = 4". Echivalenţa propoziţiilor a b a  b 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Echivalenţa propoziţiilor a şi b este propoziţia "a echivalent cu b" care se mai poate citi "a dacă şi numai dacă b" şi se notează a  b. Propoziţia a  b este o propoziţie adevărată dacă şi numai dacă propoziţiile a şi b au aceeaşi valoare de adevăr. Tabla de adevăr a echivalenţei este prezentată în tabelul alăturat. Exemplu Propoziţia: "4 > 5 dacă şi numai dacă 1 + 1 = 3" este o propoziţie adevărată, fiind echivalenţa a două propoziţii ambele false. Dacă propoziţia a  b este adevărată, scriem a  b şi spunem că propoziţiile a şi b sunt echivalente logic. Legile calculului propoziţional ,,,, după anumite reguli. Literele p, q, r, ..., se numesc variabile propoziţionale sau formule elementare iar expresiile obţinute din ele cu ajutorul operatorilor logici se numesc formule, regulile de formare a formulelor fiind următoarele:  variabilele propoziţionale p, q, r, ..., sunt formule; R z à â ^ È  R z kd‘ kd kdË A, A  B. A  B, A  B şi A  B sunt formule. Exemple Expresiile: q)  (p  q)) sunt formule ale calculului propoziţional. , , , , . Astfel, expresiile date ca exemple mai sus se scriu astfel: q  (p  q) Dacă într-o formulă în scrierea căreia intră variabilele propoziţionale p, q, r, ... înlocuim aceste variabile cu diverse propoziţii, obţinem o nouă propoziţie a cărei valoare de adevăr depinde numai de valoarea de adevăr atribuită variabilelor propoziţionale componente. O formulă a calculului propoziţional se numeşte lege, tautologie sau formulă identic adevărată dacă orice valoare de adevăr ar avea variabilele propoziţionale care intră în compunerea sa, valoarea de adevăr a propoziţiei obţinute este 1. Pentru a demonstra că o anumită formulă a calculului propoziţional este o tautologie, atribuim variabilelor propoziţionale care intră în compunerea ei valori de adevăr în toate modurile posibile şi calculăm de fiecare dată, pe baza tabelelor de adevăr ale operatorilor logici, valoarea de adevăr a formulei; dacă de fiecare dată valoarea de adevăr obţinută este 1, înseamnă că formula respectivă este o tautologie. Exemple:  Legea terţului exclus a 1 0 1 0 1 1  Legea negării implicaţiei: b 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1  Legea silogismului: a b c a  b b  c (a  b)  (b  c) a  c (a  b)  (b  c)  (a  c) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 În virtutea acestor tautologii putem scrie: q (p  q)  (q  r)  (p  r) Alte exemple de tautologii, ale căror demonstraţii se pot realiza în mod analog, sunt: p  q (legea de reflexivitate); p  q  p p  q  p (legile de idempotenţă); p  q  q  p p  q  q  p (legile de comutativitate); p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r (legile de asociativitate); p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  p (legea dublei negaţii); (p  q)  (q  p) q p) q) (p  q)  (p  q)  (q  p) p  (p  q)  q q q legile lui De Morgan (p  r)  (q  r)  (p  q  q)   Legile calculului propoziţional şi în special cele date mai sus ca exemple sunt importante deoarece pe baza lor se fac raţionamentele logice şi deci demonstraţiile în matematică. PAGE PAGE 1 쥁@