Referat Functia De Gradul Al-II-lea

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Functia De Gradul Al-II-lea si de asemenea puteti face Download Referat Functia de gradul al-II-lea

Citeste fragmente din Referat Functia De Gradul Al-II-lea

Prefaţă Această lucrare a fost realizată cu sprijinul corporaţiei „Paul & Co.” şi se adresează unor anumite categorii de persoane, şi anume elevilor de liceu care doresc să-şi aprofundeze cunoştinţele în domeniul matematicii. De asemenea această sinteză, scurtă şi la obiect, a funcţiei de gradul II este foarte utilă elevului modern din ziua de astăzi care nu se omoară cu învăţatul şi doreşte să facă într-aşa fel încât să scape cât mai repede. Lucrarea de faţă nu numai că-l face să reţină esenţialul într-o perioadă relativ scurtă, ba chiar îl poate atrage, şi pe viitor, cu siguranţă va rezerva mai mult timp studiului. Cuprins Partea teoretică…………………………………………………... pg 4 – 8 Definiţia funcţiei de gradul II. Exemple…………………………... pg 4 Variaţia funcţiei de gradul II şi reprezentarea grafică……………... pg 4 Forma canonică……………………………………………………. pg 4 Maximul şi minimul……………………………………………….. pg 5 Sensul de variaţie (intervalele de monotonie)……………………... pg 5 Reprezentarea grafică a funcţiei pătratice…………………………. pg 6 Trasarea curbei reprezentative a unei funcţii pătratice……………. pg 7 Semnul funcţiei pătratice………………………………………….. pg 8 Partea aplicativă…………………………………………………. pg 8 – 9 Partea teoretică DEFINIŢIA FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA. EXEMPLE Definiţie. Fiind date numerele reale, a,b,c cu a( 0, funcţia f : R(R definită prin formula: f(x) = ax² + bx + c se numeşte funcţie de gradul al doilea cu coeficienţii a, b, c. Deoarece domeniul şi codomeniul funcţiei de gradul al doilea este R vom indica această funcţie astfel: f(x) = ax² + bx + c sau y = ax² + bx + c O funcţie de gradul al doilea f : R(R, f(x) = ax² + bx + c este perfect determinată când se cunosc numerele reale a, b, c (a ( 0). Trebuie să observăm că în definiţia funcţiei de gradul al doilea condiţia a ( 0 este esenţială în sensul că ipoteza a = 0 conduce la funcţia de gradul întâi, studiată în clasa a VIII-a. Denumirea de funcţie de gradul al doilea provine din faptul că este definită prin intermediul trinomului de gradul al doilea aX² + bX + c. Exemple de funcţii de gradul al doilea f1 (x) = 7x² - 9x + 10, (a = 7, b = -9, c = 10); f2 (x) = (2x² + (2x + 1, (a = (2, b = (2, c = 1); f3 (x) = 0.51x² - 2x, (a = 0.51, b = -2, c = 0); f4 (x) = x² + 0.31, (a = 1, b = 0, c = 0.31); f5 (x) = -x² - 5x – 0.31, (a = -1, b = -5, c = -0.31). VARIAŢIA Şi REPREZENTAREA GRAFICĂ A FUNCŢIEI DE GRADUL AL DOILEA Forma canonică Reamintim că pentru orice x ( R ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²] Rezultă că pentru orice x ( R, avem f(x) = a[(x + b/2a)² - (b² - 4ac)/4a²] (1) Membrul drept al egalităţii (1) se numeşte forma canonică a funcţiei pătratice. Numărul Δ = b² - 4ac, discriminantul ecuaţiei asociate (ax² + bx + c = 0), se mai numeşte discriminantul funcţiei pătratice. Observăm că f(-b/2a) = -Δ/4a Exemple 2x² - x + 3 = 2[x² - 1/2x + 3/2] = 2[x² - 2*x*1/4x + 1/16 - 1/16 + 3/2] = 2[(x -1/4)² + 23/16] = 2(x – 1/4)² + 23/8; -3x² - 4x + 5 = (-3)[x² + 4/3x - 5/3] = (-3)[x² + 2*2/3x + 4/9 - 4/9 - 5/3] = (-3)[(x + 2/3)² - 19/9] = (-3)(x +2/3)² + 19/3 Maximul şi minimul Exemple f : R(R, f(x) = 2x² - x - 3. Avem f(x) = 2(x - 1/4)² + 23/8, ( x ( R, deci f(1/4) = 23/8 şi f(x) ( f(1/4), ( x ( R. Rezultă că 23/8 este cea mai mică valoare sau minimul funcţiei f pe R. f : R(R, f(x) = -3x² - 4x + 5. Avem f(x) = -3(x +2/3)² + 19/3, ( x ( R, deci f(-2/3) = 19/3 şi f(x) ( f(-2/3), ( x ( R Rezultă că 19/3 este cea mai mare valoare sau maximul funcţiei f pe R. În general, având în vedere forma canonică a funcţiei pătratice f(x) = ax² + bx + c şi faptul că f(-b/2a) = -Δ/4a, rezultă că pentru orice x ( R f(x) - f(-b/2a) = a(x + b/2a)² Constatăm că semnul diferenţei din membrul stâng depinde de semnul numărului a, deci pentru orice x ( R avem: dacă a > 0, f(x) ( f(-b/2a), deci f admite un minim pe R; dacă a < 0, f(x) ( f(-b/2a), deci f admite un maxim pe R; Fie funcţia f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0. Dacă a > 0, minimul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de minim este –b/2a. Dacă a < 0, maximul funcţiei f pe R este –Δ/4a = f(-b/2a) iar punctul de maxim este –b/2a. Sensul de variaţie (intervalele de monotonie) Exemplu. Vom studia intervalele de monotonie ale funcţiilor g şi h definite pe R, g(x) = (x - 2( + 3 şi h(x) = -(x + 3( + 1. Avem: g(x) = x + 1, x ( 2 h(x) = -x - 2, x ( -3 -x + 5, x < 2 x + 4, x < -3 Funcţia g are minimul în punctul x = 2 (g(x) ( g(2), adică (x - 2( + 3 ( 3 sau (x - 2( ( 0, ( x ( R) şi este strict descrescătoare pe (-∞; 2], strict crescătoare pe [2; + ∞). Funcţia h are maximul în punctul x = -3 (h(-3), ( x ( R) şi este strict crescătoare pe (-∞; -3], strict descrescătoare pe [-3; + ∞). Fie funcţia f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0. Dacă a > 0, atunci f are minim pe R şi vom arăta că se comportă analog cu funcţia g. Dacă a < 0, atunci f are un maxim şi vom arăta că se comportă analog cu funcţia h. Fie u, v ( R, u ( v. Raportul de variaţie asociat lui f şi numerelor u, v este (f(u) – f(v))/(u-v) = (au² + bu - av² - bv)/(u - v) = a(u + v) + b Să studiem semnul raportului de variaţie în cazul a > 0. Dacă u, v ( (-∞; -b/2a], atunci din u ( -b/2a, v ( -b/2a, rezultă u + v ( -b/a sau a*(u + v) + b ( 0. Avem a*(u + v) + b = 0 ↔ u = v = -b/2a, situaţie care nu poate avea loc, deoarece prin ipoteză u ( v. Rezultă a*(u + v) + b < 0, deci în cazul a > 0, f este strict descrescătoare pe (-∞; -b/2a]. B* B* 1b > 0, deci în cazul a > o, f este strict crescătoare pe [-b/2a; + ∞). În mod analog se studiază cazul a < 0. Fie funcţia f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0. Dacă a > 0, atunci funcţia f atinge minimul în punctul –b/2a şi este: strict descrescătoare pe (-∞; -b/2a], strict crescătoare pe [-b/2a; + ∞); Dacă a < 0, atunci funcţia f atinge maximul în punctul –b/2a şi este: strict crescătoare pe (-∞; -b/2a], strict descrescătoare pe [-b/2a; + ∞). Reprezentarea grafică a funcţiei pătratice Considerăm un reper în plan. Reprezentarea grafică a funcţiei f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0, adică mulţimea punctelor M (x, y) ale căror coordonate verifică relaţia y = ax² + bx + c, este o curbă numită parabolă. Vom nota această curbă prin (f. Condiţia ca un punct din plan să aparţină curbei (f Fie M (p, q) un punct din plan. Punctul M (p, q) aparţine curbei (f dacă şi numai dacă q = f(p), deci q = ap² + bp + c. Dacă q ( ap² + bp + c, atunci (f nu trece prin M (p, q). Punctul V(-b/2a, -Δ/4a) aparţine curbei (f pentru că -Δ/4a = f(-b/2a) şi se numeşte vârful parabolei. Exemple A (2, -3) ( (f ( -3 = 4a + 2b + c; B (-1, 0) ( (f ( 0 = a - b + c. a + b + c = 0 ( C (1, 0) ( (f ; a - b + c = 2 ( D (-1, 2) ( (f. Axa de simetrie a curbei (f Fie o funcţie f : R(R. Dreapta de ecuaţie x = h este axă de simetrie pentru curba reprezentativă a funcţiei f dacă f(h + x) = f(h - x), ( x ( R. Dacă are loc relaţia f(-x) = f(x), ( x ( R (avem h = 0), atunci curba este simetrică în raport cu axa Oy şi f este o funcţie pară. Funcţia pătratică f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0 verifică relaţia f(-b/2a + x) = f(-b/2a - x), ( x ( R. ceea ce se poate demonstra direct sau utilizând forma canonică. Curba reprezentativă a funcţiei f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0 admite ca axă de simetrie dreapta de ecuaţie x = -b/2a. În particular, dacă b = 0, f(x) = ax² + c este o funcţie pară. Intersecţia curbei (f cu axele de coordonate Se ştie că Ox = {(x, y)(x ( R, y = 0}, iar Oy = {(x, y)( x = 0, y ( R}. Rezultă: M (x, y) ( (f ( Ox ( y = ax² + bx + c şi y = 0 ( ax² + bx + c = 0 şi y = 0. M (x, y) ( (f ( Oy ( y = ax² + bx + c şi x = 0 ( x = 0 şi y = c. După cum Δ = b² - 4ac este strict pozitiv, nul sau strict negativ, ecuaţia ax² + bx + c = 0 are două soluţii reale x1 şi x2, o singură soluţie reală x = -b/2a, respectiv nici o soluţie reală. În consecinţă: dacă Δ > 0, (f ( Ox ={A(x1, 0), B (x2, 0)}; dacă Δ = 0, (f ( Ox ={A (-b/2a, 0)}; dacă Δ < 0, (f ( Ox =Ø. De asemenea, reprezentarea grafică a oricărei funcţii pătratice intersectează axa Oy, şi anume (f ( Oy = {C(0, c)} Pentru c = 0, curba asociată funcţiei f(x) = ax² + bx trece prin originea reperului. Trasarea curbei reprezentative a unei funcţii pătratice Pentru a reprezenta grafic o funcţie pătratică f : R(R, f(x) = ax² + bx + c, a ( 0 adică pentru a trasa curba sa reprezentativă (f , numită parabolă, se procedează după cum urmează. Se determină şi se înscriu într-un tabel de variaţie coordonatele unui număr finit de puncte ale curbei (f , printre care este bine să se afle: punctele de intersecţie ale curbei cu axele reperului; punctul V (-b/2a, -Δ/4a), vârful parabolei. Se reprezintă aceste puncte într-un reper al planului, ales astfel încât să putem figura toate punctele. Se unesc punctele reprezentate printr-o curbă continuă, ţinând cont de: Intervalele de monotonie ale funcţiei pătratice; Simetria curbei (f în raport cu dreapta de ecuaţie x = -b/2a. Cu ajutorul curbei astfel obţinute, putem obţine o bună aproximare a coordonatelor oricărui punct al curbei (f. Semnul funcţiei pătratice Cazul Δ > 0 x -∞ x1 x2 + ∞ f(x) semn a 0 semn contrar a 0 semn a Cazul Δ = 0 x -∞ -b/2a + ∞ f(x) semn a 0 semn a Cazul Δ < 0 x -∞ + ∞ f(x) semn a Partea aplicativă Să se construiască tabelul de variaţie şi reprezentarea grafică a următoarei funcţii f : R(R, f(x) = x² - 4x + 3 (Δ > 0, a > 0) x -( 0 1 2 3 + ( F(x) 3 0 -1 0 x² - 2x – 8 = (x - 1)² - 9 f.c. = a[(x - b/2a)² - Δ/4a²] x² - 2x - 8 = [(x - 1)² - 36/4] = (x + 1)² - 9 Δ = 4 + 32 = 36 f : R(R f(x) = px² - (p² - 6)x + p² - 1 = min x, x = 5/2 p > 0 y (min) = f(5/2) = -Δ/4a f(5/2) = p(5/2)² - (p² - 6)*5/2 + p² - 1 = -3/2p² - 25/4p + 14 Δ = p4 – 12p² + 36 – 4(p³ - p) = = -12p² - 4p³ + p4 + 4p + 36 = -Δ/4a = (12p² + 4p³ - p4 - 4p - 36)/4p -p4 + 4p³ + 12p² - 4p – 36 = 4p(-3/2p² + 25/4p + 14) -p4 + 4p³ + 12p² - 4p – 36 = -6p³ + 25p² + 56p -p4 + 4p³ + 12p² + 6p³ - 25p² - 60p - 36 = 0 -p4 + 10p³ - 13p² - 60p - 3 = 0 p4 - 10p³ + 13p² + 60p + 36 = 0 P(-2): 16 + 80 + 52 - 120 + 36 = 0 Se descompune polinomul din stânga ecuaţiei, în factori de gradul II şi se egalează cu factorii cu 0. Ecuaţia se scrie (p² - 5p - 6)² = 0 ( p² - 5p - 6 = 0 ( p1 = 6; p2 = -1 f : R(R f(x) = 2x² - 3x + 1 f(x) ( [-1/8, + (), (() x ( R a = 2 ( a > 0 ( min minf = -Δ/4a = -(b² - 4ac)/4a = -(9 - 8)/8 = -1/8 f : R(R f(x) = x² - 8x + 12 ( Ox: y = 0 ( x² - 8x + 12 = 0 Δ =64 – 48 = 16 ( (Δ = 4 x1 = (-b + (Δ)/2a = (8 + 4)/2 = 6 (A (6, 0) x2 = (-b - (Δ)/2a = (8 - 4)/2 = 2 ( B (2, 0) ( Oy: x = 0 ( y = 12 ( C (0, 12) a = 1, a > 0 ( xmin = 8/2 = 4 ymin = -Δ/4a = -1 ( V (4, -1) x -1 0 2 4 6 7 f(x) 21 12 0 -1 0 5 PAGE PAGE 2 쥁@