Referat Matrici

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Matrici si de asemenea puteti face Download Referat Matrici

Citeste fragmente din Referat Matrici

Am numit acest tablou matrice patratica. Pe cele doua coloane ale matricei figureaza coeficientii lui x si respectiv coeficientii lui. DEFINITIE : Se numeste matrice cu m linii si n coloane un tablou cu m linii si n coloane ale carui elemente aij sunt numere complexe. Uneori aceasta matrice se noteaza si A=(a i,j) Pentru elementul a i,j indicele arata linia pe care se afla elementul iar al-doi-lea indice j indica pe ce coloana este situat. Vom nota matricile A,B,C,…,X,Y,….. . Definitie. Fie A=(a i,j),B=(b i,j) ,Spunem ca matricile A si B sunt egale Observaţii . 2) Explicit adunarea matricilor A, B înseamnă: . Exemplu: Să se calculeze A + B pentru: ; R. 1. Avem 2. Avem . Proprietăţi ale adunării matricilor (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică: . (Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică: . . , astfel încât . a i,j). Inmultirea a doua matrici Proprietăţi ale înmulţirii matricilor cu scalari ; ; ; ; Observaţii . BA adică înmulţirea matricilor nu este comutativă. Proprietăţi ale înmulţirii matricilor (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricilor este asociativă, adică . (Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea). Înmulţirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică A, B, C matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire. este matricea unitate, atunci . este element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricilor. TEOREMA Cayley – Hamilton. . Pentru n = 2. . polinom caracteristic Generalizat. Program de_adunare_a_matricilor; uses crt; type matrice=array [1..30,1..30] of integer; var a,b,c:matrice; i,j,n,m:integer; f,g:text; procedure citire; begin assign (f, date.in ); reset (f); read (f,n,m); for i:=1 to n do for j:=1 to m do read (f,a[i,j]); for i:=1 to n do for j:=1 to m do read (f,b[i,j]); close(f); end; procedure adunare; begin assign (g, date.out ); rewrite (g); writeln (g, Cele doua matrice sunt ); for i:=1 to n do begin for j:=1 to m do write (g,a[i,j]:2); writeln (g); end; writeln (g); for i:=1 to n do begin for j:=1 to m do write (g,b[i,j]:2); writeln (g); end; writeln (g); writeln (g, Matricea C=A+B este: ); writeln (g); for i:=1 to n do begin for j:=1 to m do begin c[i,j]:=a[i,j]+b[i,j]; write (g,c[i,j]:2); end; writeln (g); end; close (g); end; begin citire; adunare; end. Exemplu: Cele doua matrice sunt 1 2 4 5 -3 2 3 4 1 0 0 3 0 1 1 2 10 2 2 9 0 0 1 3 10 1 -1 4 9 9 8 -1 2 4 7 7 -2 3 4 4 Matricea C=A+B este: 1 2 5 8 7 3 2 8 10 9 8 2 2 5 8 9 8 5 6 13 Program de_inmultire_a_matricilor; uses crt; type matrice=array [1..30,1..30] of integer; var a,b,c:matrice; i,j,k,n,m,p,s:integer; f,g:text; procedure citire; begin assign (f, date.in ); reset (f); read (f,n,m,p); for i:=1 to n do for j:=1 to m do read (f,a[i,j]); for i:=1 to m do for j:=1 to p do read (f,b[i,j]); close(f); end; procedure inmultire; begin assign (g, date.out ); rewrite (g); writeln (g, Cele doua matrice sunt ); for i:=1 to n do begin for j:=1 to m do write (g,a[i,j]:2); writeln (g); end; writeln (g); for i:=1 to m do begin for j:=1 to p do write (g,b[i,j]:2); writeln (g); end; writeln (g); writeln (g, Matricea C=A*B este: ); writeln (g); for i:=1 to p do begin for k:=1 to n do begin s:=0; for j:=1 to m do s:=s+(a[k,j]*b[j,i]); c[k,i]:=s; end; end; for i:=1 to n do begin for j:=1 to p do write (g,c[i,j]:3); writeln (g); end; close (g); end; begin citire; inmultire; end. Exemplu: Cele doua matrice sunt 1-2 3 0 1-1 3 1 -1-1 0 1 Matricea C=A*B este: 5 6 -1 -2 4 o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat det(A) numit determinantul matricii A. este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci . este numărul şi se numeşte determinant de ordin 2. se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2. Definiţie. Determinantul matricii este numărul şi se numeşte determinant de ordin 3. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului. Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizează trei tehnici simple: Regula lui Sarrus Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizează tabelul de mai jos. (se scris sub determinant primele două linii) . . Suma celor şase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeşte „regula lui Sarrus”. Regula triunghiului Am văzut că determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa şase termeni, trei cu semnul plus şi alţi trei cu semnul minus. Primul termen cu plus se găseşte înmulţind elementele de pe diagonala principală, iar ceilalţi doi, înmulţind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură paralelă cu cu diagonala principală. După aceeaşi regulă, referitoare la diagonala secundară, se obţin termenii cu minus. Obs.: Atât „regula lui Sarrus” cât şi „regula triunghiului” se aplică numai determinanţilor de ordin 3. Exemplu. Să se calculeze prin cele două metode de mai sus determinantul R. Regula lui Sarrus. Regula triunghiului Recurent (sau dezvoltare după o linie sau o coloană) Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilalţi cu semnul minus. Are loc următoarea proprietate: , (1) . (2) Observaţii 1) Egalitatea (1) se mai numeşte dezvoltarea determinantului după elementele liniei întâi, iar egalitatea (2) se numeşte dezvoltarea determinantului după elementele coloanei întâi. 2) Formulele (1) şi (2) sunt relaţii de recurenţă, deoarece determinantul de ordin 3 se exprimă cu ajutorul unor deteminanţi de ordin inferior (2). Definiţia determinantului de ordin n Voi defini în continuare determinantul de ordin n prin recurenţă cu ajutorul determinanţilor de ordin n – 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizări. . . . de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complemenţii lor algebrici adică . Observaţii 1) Elementelor, liniilor şi coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile şi coloanele determinantului . 2) Formula din definiţie spunem că reprezintă dezvoltarea determinantului de ordin n după elementele primei linii. 3) Definiţia determinantului de mai sus este încă puţin eficientă (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietăţi ale determinanţilor care să fie comode atât din punct de vedere al teoriei şi din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprietăţi le prezint în paragraful următor. o sumă de produse de elemente din determinant, fiecare produs conţinând elemente situate pe linii şi coloane diferite. . Exemplu Să se calculeze determinantul de ordin 4: . R. Aplicăm definiţia dată mai sus pentru n = 4 şi dezvoltăm determinantul după elementele liniei întâi. Avem: = , unde determinanţii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanţii de ordin 3. Proprietăţile determinanţilor . . . Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul. . Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniţiale. A Á ä  ̠롪 jš ! — Ê Ö j j j já Æ j j  . Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul. Demonstraţie. Verific pentru linii (şi tot odată pentru coloane). Avem: . înmulţit cu determinantul matricii iniţiale. . Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proporţionale, atunci determinantul este nul. . Calculul inversei unei matrici fiind matricea unitate. . Deci . O astfel de matrice se numeşte nesingulară. presupune următorii paşi: Pasul 1. (Construcţia transpusei) , . Pasul 2. (Construcţia adjunctei) , inlocuin fiecare element cu complementul său algebric se numeşte adjuncta matricii A. Pasul 3. (Construcţia inversei) Se ţine cont de teorema precedentă şi se găseşte că: Ultimele egalităţi arată că : program regula_lui_Sarrus; uses crt; type matrice =array [1..30,1..30] of longint; var a:matrice; i,j,s,s1,s2,k,n,m,p,x:longint; f:text; procedure citire; begin assign (f, fisier.txt ); reset (f); textcolor(2); writeln( Aceasta problema a putut fi rezolvata cu ajutorul ); writeln( REGULEI lui SARRUS ); writeln; writeln; writeln; writeln; writeln; textcolor(11); writeln ( Matricea A este: ); writeln; read(f,n); for i:=1 to n do begin for j:=1 to n do begin read (f,a[i,j]); write (a[i,j]:2); end; writeln; end; m:=n; writeln; close (f); end; procedure prelucrare_matrice; begin for i:=1 to n-1 do for j:=1 to m do a[n+i,j]:=a[i,j]; writeln; writeln( Matricea + liniile adaugate ); writeln; x:=n; n:=n+n-1; for i:=1 to n do begin for j:=1 to m do write (a[i,j]:2); writeln; end; end; procedure calcul; begin s1:=0; s2:=0; p:=1; for k:=0 to x-1 do begin p:=1; i:=k; for j:=1 to x do begin inc(i); p:=p*a[i,j]; end; s1:=s1+p; end; writeln; for k:=x+1 to n+1 do begin p:=1; i:=k; for j:=1 to x do begin i:=i-1; p:=p*a[i,j]; end; s2:=s2+p; end; s:=s1-s2; writeln; writeln ( Determinantul matricii A este: det(A)= ,s) end; begin clrscr; citire; if n=2 then begin s1:=a[1,1]*a[2,2]; s2:=a[2,1]*a[1,2]; s:=s1-s2; writeln; writeln ( Determinantul matricii A este: det(A)= ,s); end else begin prelucrare_matrice; calcul; end; readkey; end. program regula_triunghiului; uses crt; type matrice =array [1..30,1..30] of longint; var a:matrice; i,j,s,s1,s2,k,n:longint; f:text; procedure citire; begin assign (f, fisier2.txt ); reset (f); textcolor(2); writeln( Aceasta problema este rezolvata cu ajutorul ); writeln( REGULEI TRIUNGHIULUI ); writeln; writeln; writeln; writeln; textcolor(11); writeln ( Matricea A este: ); writeln; for i:=1 to 3 do begin for j:=1 to 3 do begin read (f,a[i,j]); write (a[i,j]:2); end; writeln; end; writeln; close (f); end; procedure calcul; begin s1:=a[1,1]*a[2,2]*a[3,3]; s1:=s1+(a[2,1]*a[3,2]*a[1,3]); s1:=s1+(a[1,2]*a[2,3]*a[1,3]); s2:=a[1,3]*a[2,2]*a[3,1]; s2:=s2+(a[1,2]*a[2,1]*a[3,3]); s2:=s2+(a[3,2]*a[2,3]*a[1,1]); s:=s1-s2; writeln; writeln ( Determinantul matricii A este: det(A)= ,s); end; begin clrscr; citire; calcul; readkey; end. APLICAŢII Manual pg. 75 Să se determine numerele reale x, y, z astfel încât să aibă loc egalitatea de matrici, în cazurile în cazurile: . 2. Se consideră matricile . . . . . . , unde , dacă: . (A) . pg. 129 1. Calculaţi determinanţii de ordinul doi: 2. Calculaţi determinanţii de ordinul trei: 6. Calculaţi determinanţii următori: 12. Să se rezolve ecuaţiile: . 13. Să se rezolve ecuaţiile: Bacalaureat 1. Să se determine matricea X din ecuaţia astfel încât astfel încât sistemul următor să fie compatibil şi apoi rezolvaţil: . 3. Să se rezolve ecuaţia: BIBLIOGRAFIE 1. Mircea Ganga, Manual de Matematică, Elemente de Algebră liniară, şi geometrie analitică, clasa a XI-a, Editura Mathpress, 2004 2. Ghid de pregatire pentru examenul de bacalaureat la matematica 2005, editura SIGMA,2005. PAGE PAGE 2 쥁@