Referat Geometrie Analitica

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Geometrie Analitica si de asemenea puteti face Download Referat Geometrie Analitica

Citeste fragmente din Referat Geometrie Analitica

Geometrie Analitica Fondatorii. Geometria analitica a fost creata in acelasi timp, de catre Rene Descartes si Pierre Fermat. Se stia inca din Antichitate ca fiind data o curba, intre coordonatele punctelor ei exista o anume relatie, din care apoi, pe cale geometrica, erau deduse altele. Descartes a inventat rolurile dintre geometrie si algebra, punand in primu plan, algebra; el a aratat ca invers, oricarei relatii intre coordonatele x, y, f(x, y)=0, ii corespunde o curba. Incepand cu Geometria sa, din 1637, calculul literal a luat forma moderna p care o are si astazi. La Francois Viete, calculul literal avea tot o baza geometrica; pentru el, formulele (a+b)²=a²+2ab+b², (a-b) ²=a²-2ab+b² sunt diferite, doarece a si b sunt masuri ale segmentelor deci egalitatile exprima strict relatii dintre arii. Incepand cu Descartes literele nu mai reprezinta lungimi de segmente, ci numerele irationale. Ideea era trasata de Diofant, dar s-a impus in matematici. Descartes pleaca in cartea sa, de la problema lui Papus: Fie date patru drepte in plan si se cere sa se gaseasca multimea punctelor M astfel ca intre distantele lor di la dreptele dt (i=1, 2, 3, 4), sa avem relatia d1d2=kd3d4. Descartes noteaza cu x, y coordonatele punctului M si exprima prin consideratii sintetice distantele, observand ca toate sunt lineare in x, y. Deci dimensiunea produsului este datade numarul dreptelor care intervin. In cazul a cate doua drepte in fiecare parte a egalitatii, avem o acuzatie de gradul al doilea in x, y deci luindu-l pe x arbitrar fixat, il putem construi pe y cu rigla si compasul. In cazul a cinci drepte avem acelasi rezultat, deoarece o necunoscuta fie x intra cel mult la gradul al treilea si a doua, fie y, la gradul al doilea. Fixandu-l pe x, putem sa-l construim pe y. In cazul dreptelor paralele, o necunoscuta dispare si ramane cealalta necunoscuta la gradul al treilea si rezolvarea necesita si o conica, adica este o problema solida, dupa terminologia timpului, numele de problema plana fiind atribuit acelora a caror constructie era realizabila cu rigla si compasul, adica necesitau numai drepte si cercuri. In cazul a cinci drepte paralele sau in cazul a 6, 7, 8, 9 drepte, o relatie de forma d1d2d3d4d5=kd6d7d8d9 duce la o ecuatie cel mult de gradul al cincilea. Pentru gradul al treilea sau al patrulea, fixand o coordonata o determinam oe cealalta prin intersectia a doua conice. Pentru gradul al cincilea putem sa aranjam astfel ca una din necunoscute, de exemplu y, sa intervina cel mult la gradulal patrulea si pentru cel mult cinci drepte avem o problema plana; pentru 6, 7, 8, 9 drepte avem o problema solida. Clasificarea continua mai departe. Descartes recomandastudierea si a problemelor care nu sunt plane; ca aplicatie da o generare mecanica simpla a curbelor de ecuatie polara ⁴(, ... care generalizeaza campila lui Eudoxiu si exprima ideea findamentala ca pentru orice curba avem o relatie intre coordonate, aceeasi pentru toate punctele ei iar gradul relatiei este independent de alegerea axelor. Descartes da o metoda generala de ducerea normalei intr-un punct la o curba si introduce ovalele. In restul lucrarii da indicatii generale privind radacinile reale ale unei ecuatii algebrice. Descartes n-a rezolvat nici una din problemele elemntare de geometrie analitica; el n-a dat nici macar formula distantei dintre doua puncte, nici macar ecuatia dreptei. A trasat doar liniile generale. Lucrarea lui Descartes era greu de citit de catre contemporani. Deosebit de interesanta este introducerea cartii sale, acel Discurs asupra metodei, in care Descartes, dand criteriile ale timpului sau. Si lui Fermat a fost publicata postum, in 1679; dar prin scrisori, ea era cunoscuta in 1637, anul aparitiei Geometriei lei Descartes. Si Fermat a enuntat ca orice ecuatie f(x, y)=0 reprezinta o curba. Din punctul de vedere metodic, el a mers mai departe decat Descartes. Fermat a aratat ca o ecuatie de gradul intaii reprezinta o dreapta, ca xy=const. este ecuatia unei iperbole echilaterale, ca x²=ay este ecuatia unei parabole; de asemenea a dat ecuatia cercului, a elipsei. Pentru Fermat, orice relatie algebrica este simbolul unei operatii geometrice; el a creat geometria analitica, utilizand metpde geometrice in sensul lui Apoloniu. Si Descartes si Fermat considerau o singura axa si ambele coordonate pozitive. Primii continuatori. Francisa van Schooten, traducand Geometria lui Descartes in limba latina, a insotit-o de numeroase comentarii in care a lamurit punctele obscure. El a dat, in 1656, formulele de translatie si de rotatie plana √a²+b²), y’=(bx+ay+q)/(√a²+b²). John Wallisa dat, in 1655, ecuatia generala a conicelor y²=2px+qx² raportate la o axa si tangenta in varf si le-a studiat pe baza acestei ecuatii. Wallis a introdus si coordonatele negative. Rene Sluse a dat pentru prima oara, in 1659, reprezentarea grafica a unei functii date. Philippe lahire a scris mai multe carti despre conice. El le-a introdus necorespunzator, dar comod pentru expunere, cu ajutorul focarelor asa cum au ramas in cartile elementare actuale. Lahire a tratat analitic si teoria polarelor. El a aratat, in 1685, ca doi diametri conjugati ai unei conice sunt conjugati in raport cu asimptotele. A introdus cercul ortoptic al unei conice, adica a aratat ca multimea punctelor din care este un cerc concentric. fig. 1 lahire a mentionat, in 1685, proprietatea comoda pentru desenarea unei elipse. A considerat doua cercuri concentrice de raze perpendiculare OA=a, OB=b (fig. 1). O secanta mobila dusa prin O taie cercurile in P si Q. Paralela din P la OB si din Q la OA se taie in punctul M, care descrie elipsa de semiaxe a, b. O alta teorema importanta relativ la conice, data de Lahire in 1685, este urmatoarea. fig. 2 Dreapta uneste focarul unei conice cu un punct P exterior este bisectoarea unghiului format unind focarul cu punctele ale tangentelor duse din P adica (fig. 2) 0. Aceste ovale au diferite forme, dupa valorile lui a si k. Cand F, F’ coincid regasim cercul (a=0). Cand k>0 curba este formata din doua ovale (fig. 16). Cristiaan Huygens a introdus notiunile de evoluta si de evolventa. Evoluta sau desfaurata unei curbe este infasuratoarea normalelor ei; ea este tot odata locul centrlor de curbura. Invers, se presupune data curba c; evolventa ei este locul geometric p al punctelor P, situate pe tengenta in punctul mobil M al curbei c, a caror tangenta a curba p sa fie perperdiculara pe MP (fig . 17). Daca A este originea arcelor d curbura c, atunci arcul s+MP are o lungime constanta l si curba p este generata de extremitatea unui fir de lungime constanta l, care se infasoara pe curba data, plecand din originea A panain punctul Mpe curba, iar restul firului este intins pe tangenta in M. Avem o infinitate de evolvente, dand diferite valori lungimii l. Aceste evolve sunt curbe paralele. Huygens a aratat in 1658, ca evoluta unei cicloide este egala cu curba tautocrona, in sensul ca oride unde ar pleca punctul M, fara viteza initiala, de pe curba si mischandu-se pe curba, el ajunge in punctul cel mai jos, A, in acelasi timp, anume a fiind raza cercului generator. T=π√a/g. Huygens a aratat ca aria segmentului OCAD determinat de arcul de cerc si de cisoida (fig. 139) este dublul ariei OTAD. Huygens a aratat ca aria dintre tractoare si asimptota este jumatate din aria cercului cu raza, distanta a de la vrf la axa.De asemenea a aratat ca aria si volumul obtinute prin rotatie in jurul asimptotei sunt aria sferi de raza a si jumatate din volumul aceleiasi sfere[51. b]. Huygens a studiat curba logaritmica Rectificand-o si aratand in 1669, ca subtangenta pe axa Oy este constanta. Huygens a rectificat in 1659 arcul de parabola, observand ca se exprima in logaritmi. In adevar, pentru parabola y(la puterea a2-a)=2px luand ca parametru ordonata y ,avem pentru arcul de curba dintre varf (y=0) si un punct mobil arbitrar Cu aceasta a observat ca acelasi rezultat a fost obtinut de Federigo Commandino ,cand a rectificat spirala lui Arhimede r = a0. Huygens a aratat in 1673 ca o epicicloida este infasurata de cercuri mobile cu centrul pe un cerc dat cu raza variabila dupa o lege data. Christopher Wren a aratat in 1658, ca lungimea arcadei cicloidei este de patru ori diametrul cercului generator. Philippe Lahire a intreprins , in 1666, un studiu sistematic al epicicloidelor si ipocicloidelor ,nascute de un punct dat al unui cerc mobil care se rostogoleste exterior sau interior pe un cerc fix.El a aratat in 1706 ca daca un cerc se rostogoleste interior pe un cerc de raza dubla ,orice punct al cercului mobil descrie un diametru al cercului fix si orice alt punct, legat invariabil de cercul mobil genereaza o elipsa [50. d]. Lahire a aratat ca desfasurata unei epicicloide sau ipocicloide este o curba asemanatoare. l fiind raportul razelor cercurilor. Lahire a dovedit ca prin reflectie, caustica unui cerc este o epicicloida.Caustica prin reflectie a unei curbe c este infasuratoarea razelor reflectate pe curba, ale razelor care trec printr-un punct dat. In 1706, Lahire a studiat evolventa cercului, obtinandu-i ecuatiile parametrice X= a (cos 0 – 0 sin 0), Y= a(sin 0 + 0 cos 0). In adevar, avem formulele pentru evolventa X= x + rx’, Y= y + ry’ unde s + r =l (constant).In cazul cercului, X= r cos 0, y= r sin 0 avem s= -a0: luam l = 0 deci r = a0.In coordonate polare ceea ce este evident in figura. Conform definitiei evolventei avem PM=arc PA, P’M’ = arc AP’ deci daca este trasata curba , putem sa rectificam mecanic, cercul. Isaac Newton a clasificat cubicele, considerand astfel parabola punctata cu punct izolat in origine si parabola nodata cu un nod in origine. Newton a dat o generare mecanica a conicelor si a curbelor de grad superior. Anume, fie A, B doua puncte fixe si alfa , beta doua unghiuri de marime constanta : unui punct M, mobil pe o linie l, ii corespunde un punct N astfel ca unghiul MAN = alfa, unghiul MBN = beta, care descrie o conica.Daca M descrie o conica ,N descrie o cuartica cu trei puncte duble, doua fiind plasate in A si B. Newton a introdus in 1671 notiunea de centru de curba intr-un punct la o curba plana si a dat expresia razei de curbura la curba x= x(t), y = y(t), Newton a introdus notiunea de contact intre doua curbe in 1687.Anume doua curbe plane c1,c2 au un contact n – punctual in punctul M, daca au n puncte confundate in M.Daca y = f(x), y = g(x) sunt ecuatiile curbelor , pentru ca ele sa aiba un contact n-punctual in x0 trebuie ca ecuatia F(x) – g(x) = 0 sa aiba o radacina multipla de ordinul n in x0. Gottfriend Leibniz a clasificat curbele, in 1679, in algebrice si transcendente. El a introdus in 1692 notiunea de curbe paralele ; sunt curbele obtinute dintr-o curba data , purtand segmente constante pe normala , plecand din punctele mobile ale curbei. Leibniz a considerat in 1715, astroida , curba cu patru puncte de intoarcere, simetric distribuite.Curba are ecuatia a iind distanta OA de la centru la un punct de intoarcere. Leibniz a studiat in 1693 ,tractoarea , curba care are tangentele egale , adica MT = const. = AO. El a dat in 1692 , regula de obtinere a infasuratoarei unei familii de curbe f(x,y,delta)=0 prin eliminarea parametrului delta din aceasta ecuatie si derivata in raportul cu delta. Walther Tschirnhaus a studiat in 1682 causticele unei curbe. Fie punctul o si curba c ; raza OM se reflecta dupa MP , adica razele OM,MP sunt egal inclinate pe normala MC in punctul M.Tschirnhaus a aratat ca punctul P in care raza reflectata a mijlocului segmentului MC, C fiind centrul de curbura in punctul corespunzator M al curbei date c. Jacob Bernoulli a studiat in 1692 spirala logaritmica , aratand ca desfasurata ei este tot o spirala logaritmica si ca aceasta curba ramane asemenea ce ea insasi. El a introdus in 1694 ,lemniscata, prin proprietatea ca produsul distantelor punctelor ei la doua puncte fixe F,F’ este constant. MF x MF’ = const. = OF la puterea a II-adeci este un oval Cassini particular , de ecuatie Jacob Bernoulli, intr-o lucrare publicata postum , a introdus clotoida , curba pentru care curbura este proportionala cu arcul, adica o curba de ecuatie intrinseca ps=a Lemniscata si clotoida sunt intrebuintate in comunicatii (sosele,cai ferate). Jacob Bernoulli a propus in 1690 sa se afle ecuatia lantisorului, figura de echilibru a unui fir fixat la capete.Problema a fost rezolvata in acelasi timp de Leibniz,Huygens,Johann Bernoulli dandu-se raspunsul y=chx Curba este importanta deoarece determina alura arcadei unui pod suspendat de doi stalpi.In practica ,daca picioarele podului sunt apropiate , inlocuim lantisorul printr-un arc de parabola. Jacob Bernoulli a introdus in 1695 cercul osculator al unei curbe, limita cercului care are trei puncte comune cu curba ,cand aceste puncte se confunda. Jacob Bernoulli a determinat in 1698, liniile geodezice ale unui con, aratand ca devin drepte in desfasurarea conului pe plan. Pierre Varignon a introdus in 1704, spirala iperbolica, de ecuatie in coordonate polare are este inversa spiralei lui Arhimede.Spirala iperbolica admite originea ca punct asimptotic si o dreapta y=a, ca asimptota. Varignon a introdus in 1668, transformarea X=a0, y=r care permite trecerea de la ecuatia unei curbe c in coordonate polare (r,0) la ecuatia altei curbe c’,in coordonatele carteziene x,y si invers.In acest mod , spirala lui Arhimede r = k0 se transforma intr-o spirala logaritmica r = e la puterea „a0”. De asemenea ,tangentoida devine curba capa r = a ctg 0 sau cuartica circulara cu punct de intoarcere in O, pentru ramura y>0, admitand dreptele y = +/- a ca asimptote . Edmond Halley a aratat in 1686 , ca proiectia stereografica a loxodromei este o spirala logaritmica. In adevar , proiectia stereografica fiind o reprezentare conforma si meridianele devenind drepte concurente, obtinem in proiectie o curba care taie razele vectoare sub un unghi constant , deci o spirala logaritmica . Francois l’Hospital a dat formula razei de curbura in coordonatele polare r = r(0), El a scos in evidenta , in 1696, punctele de intoarcere de speta intaia si a doua a curbelor plane. 5 > œ £ ¨ ù þ 3 4 6 7 ä å ç è ú û hÇ hÇ hÇ ␃ᄁ梄态梄愁Ĥ摧䬛fሀ hº hº hº de traiectorie de unghi alfa, a unei familii de curbe , anume o curba care taie toate curbele familiei sub acelasi unghi alfa.Fie f(x,y,a)= 0 ecuatia familiei de curbe.Intr-un punct M, tangenta are coeficientul unghiular y’; pentru dreapta care face unghiuyl alfa cu tangenta avem eliminand parametrul a obtinem ecuatia traiectoriei.In particular , pentru alfa= pi/2 avem traiectoriile ortogonale. Johann Bernoulli a aratat in 1698, ca planul osculator al unei linii geodezice pe o suprafata este perpendicular pe planul tangent.A determinat geodezicele unei suprafete de rotatie considerand o banda din cilindrul circumscris de-a lungul unui paralel si folosind proprietatea ca prin desfasurare, geodezicele devin drepte. CARTI FUNDAMENTALE: Rene Descartes: „La Geometrie” Paris,1637.Anexa la „Discours de la methode”. Pierre Fermat: „Isagoge ad locos planos et solidos” (Introducere la problemele de locuri geometrice construibile cu cercul,dreapta sau necesitand si intersectii de conice) Jan Witt: „Elementa curvarum linearum” Amsterdam,1659.Prima carte independenta, de geometrie analitica. Christiaan Huygens: „Horologium oscillatorium”. Manuscris din 1673, publicat in Opere complete ,Haga ,1889. Philippe Lahire: „Sectiones conicae” Paris,1679. Isaac Newton: „ Enumeratio linearum tertii ordinis” Londra, 1704 쥁@