Referat Phi

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Phi si de asemenea puteti face Download Referat phi

Citeste fragmente din Referat Phi

Cuprins 1. Phi si phi – Proportia divinã. 2. Despre numãrul de aur (Phi si phi) 3. Numãrul de aur si Fibonacci 3 4. Reprezentare graficã – dreptunghiuri de aur. 5. Alte siruri care tind la Phi 6. Câteva curiozitãti despre Phi ai phi 7. Anexa nr. 1. 8. Reprezentarea graficã. 9. Anexa nr. 2. 10. Programul sursã C++ ce creeazã reprezentarea graficã (din anexa 1) 11. Anexa nr. 3. 12. Numãrul Phi cu 20.000 de zecimale. 13. Bibliografie. Despre numãrul de aur (Phi si phi) Sã începem cu o problemã de esteticã. Sã considerãm un segment de dreaptã. Care este cea mai „plãcutã” împãrtire a acestui segment în douã pãrti ? Unii ar spune cã în douã jumãtãti, altii ar spune cã în proportie de 3:1 Grecii antici au gãsit un rãspuns pe care ei îl considerau corect (teoreticienii îl numesc „simetrie dinamicã”). Dacã pãrtii stângi a segmentului îi atribuim lungimea u=1, atunci partea dreaptã va avea o lungime v=0,618… Despre un segment partitionat astfel spunem cã este împãrtit în Sectiunea (sau Proportia, Diviziunea) de aur (divinã). Ф=u/v, vom rezolva ecuatia pentru Ф, observând cã : Rãdãcina pozitivã a ecuatiei, care se poate scrie Ф2 - Ф – 1 = 0 este : o constantã care este numitã Numãrul de aur sau Proportia divinã. Dacã presupunem u=1, atunci , cum am presupus mai devreme. Notãm numãrul v = 0.6180339887… = Ф (phi). Numãrul de aur si Fibonacci Afirmãm cã numãrul nostru Phi este strâns legat de sirul lui Fibonacci. Pentru cei care nu stiu, sirul lui Fibonacci este definit prin : f0=0; f1=1; fn= f0+ f1 (oricare n32). Ф cu sirul lui Fibonacci ? Aceasta este o idee remarcabilã a matematicii. Pentru început sã observãm cã : Ф este o fractie infinitã. Acum sã privim fractiile partiale : Toate rezultatele fractiilor sunt rapoarte de numere Fibonacci succesive, fapt ce „motiveazã” teorema ce spune cã : În cuvinte putem spune cã, pe mãsurã ce n se apropie de infinit, raportul termenilor al n+1-lea si al n-lea din sirul lui Fibonacci se apropie de Ф. Aceastã teoremã este valabilã pentru orice secventã arbitrarã ce satisface recurenta : fn= f0+ f1 (oricare n32), cu proprietatea cã primii doi termeni sunt diferiti. Reprezentare graficã – dreptunghiuri de aur Ф si lãtime 1), urmeazã un sir natural de „cuibãriri” ale dreptunghiurilor divine în cel initial. Lungimea si lãtimea celui de-al n-lea dreptunghi de aur pot fi scrise ca expresii liniare, unde coeficientii sunt întotdeauna numere Fibonacci. Aceste dreptunghiuri pot fi înscrise într-o spiralã logaritmicã, asa cum aratã imaginea. Sã presupunem cã punctul din coltul din stânga jos al primului dreptunghi este originea unui sistem rectangular de coordonate. Apare acum întrebarea : unde se aflã punctul spre care tinde spirala? Rãspunsul este : spirala tinde spre punctul de coordonate taie spirala sub un unghi constant. În sensul acesta, spunem cã spirala este o generalizare a cercului, unde unghiul este de 900. Spirala noastrã are un unghi Spiralele logaritmice se întâlnesc destul de des si în naturã. De exemplu carcasa unui melc, coltii unui elefant sau conurile de pin au formã de spiralã. Altã aplicatie geometricã a numãrului Phi apare la desenarea unui pentagon regulat fãrã cerc si compas. Aceasta este legatã de faptul cã Alte siruri care tind la Phi La fel de simplu cum Ф este o fractie infinitã, tot asa poate fi si un radical infinit : Iatã altã serie infinitã legatã de Ф : Dintre multe alte expresii posibile ce se apropie de Ф urmãtoarele douã sunt mai cunoscute : unde Câteva curiozitãti despre Phi si phi Un prim fapt ce „sare în ochi” si este cel putin curios îl constituie relatia simplã între Ф, π si e : Pare într-adevãr ciudat cum trei numere irationale se „leagã” printr-o expresie atât de simplã, însã matematicienii au demonstrat cã asa stau lucrurile si vrem nu vrem trebuie sã-i credem. Cine nu crede poate folosi un calculator electronic pentru a face niste calcule simple cu vreo opt zecimale si va fi uimit rezultate. Coincidentele nu se opresc însã aici. Sã considerãm urmãtorul sir : f0=0.6180339887…; f1=1.000; f0=1.6180339887… ; f0=2.6180339887…; fn= f0+ f1 (oricare n32). Din definitia sirului se observã cã oricare doi termeni consecutivi adunati îl dau ca rezultat pe urmãtorul. Este însã nevoie de un ochi ager pentru a observa cã prin înmultirea oricãrui termen cu Ф=1.6180339887… va rezulta termenul imediat urmãtor. . Prezentãm acum câteva egalitãti simple cu Ф si ф : Ф2 = Ф+1 Фn+2= Фn+1+ Фn ф2= ф +1 фn+2= фn+1+ фn Anexa nr. 1 Reprezentarea graficã Anexa nr. 2 Programul sursã C++ ce creeazã reprezentarea graficã (din anexa 1) #include #include #include #include #include int x31,x32,y31,y32; void rect1 (int x1, int y1, int x2, int y2) { setcolor(1); rectangle(x1,y1,x2,y2); setcolor(14); arc(x1+y2-y1,y2,90,180,y2-y1); } void rect2 (int x1, int y1, int x2, int y2) { setcolor(1); rectangle(x1,y1,x2,y2); setcolor(14); arc(x1,y1+x2-x1,0,90,x2-x1); } void rect3 (int x1, int y1, int x2, int y2) { setcolor(1); rectangle(x1,y1,x2,y2); setcolor(14); arc(x2-y2+y1,y1,270,360,y2-y1); } void rect4 (int x1, int y1, int x2, int y2) { setcolor(1); rectangle(x1,y1,x2,y2); setcolor(14); arc(x2,y2-x2+x1,180,270,x2-x1); } void gold(int n) { int i,j,k,l; for(i=1;ix31)&&(y32>y31)) { rect1(x31,y31,x32,y32-x32+x31); y32=y32-x32+x31; } else break; if (i%4==1) if ((x32>x31)&&(y32>y31)) { rect2(x31+y32-y31,y31,x32,y32); x31=x31+y32-y31; } else break; if (i%4==2) if ((x32>x31)&&(y32>y31)) { rect3(x31,y31+x32-x31,x32,y32); y31=y31+x32-x31; } else break; if (i%4==3) if ((x32>x31)&&(y32>y31)) { rect4(x31,y31,x32-y32+y31,y32); x32=x32-y32+y31; } else break; } } void main() { int n; int gdriver=DETECT,gmode; initgraph(&gdriver,&gmode,""); x31=10; y31=20; x32=625; y32=400; cout << "Introdu numarul de dreptunghiuri pe care sa le desenez : "; cin >> n; cleardevice(); setbkcolor(0); rect1(x31,y31,x32,y32); gold(n); getch(); closegraph(); } Anexa nr. 3 Numãrul Phi cu 20.000 de zecimale C Y Z C Z [ 596830435192666765639609226488456702128507448211848361029076891964934023 006417531734839147589166720230692453471076277197925249973285768903886801 417803137994836510895272209465913045066566582585391746904868726499025467 659665991645473651342597555773973485065284399773844905139058294301300083 669614556697485377934078812772157914872107192588690892778787329829822145 742332732659879827569508988453062402230364863477229670565241270358878302 819400749805754390162857867455313271976526071076431531123915260772193621 443460960897587269342236743316137185745776081177515180696621047955851401 300697018450070262904794925708371201752793785549576273912455871483320101 703618405216368180173414250898061606346763308505041845858166293340934791 991036859130537894821586517011812101133300066957752327866855180782567528 361494949207458373368458136914079775959252672739664234787466143998196480 810367050660052382691650551446347111168674281773195025606429516379596594 756449878914614469259366293093648048161740598082142543405252113713324081 139135799716228581014191034104605692907824989562145600410456922214168308 932366625176186962717194538549985514842751733692412026801599280832014583 007544847423312643878084780850561043049099993643459051951874948436967727 574733596708833496091574474357503986020163976661142765369526704411552001 939148429346010151295311744588764830703716773961542655913990830375776630 213099087127198870690329304701241058615063998529981417578043034808035882 032020110476070047557101694234120341089156439478253031645937304375581946 867525349532301302767823535601166413111779960997936620434495696835479307 543113275586431897315151710644321892497932778012649647644754670781658074 061312593752718474088161154798183078167510478092914139545646311605812690 517539535569157755804106719812316384052775560522722237647118832332230995 850689710187175047819065334948584232597622565758418985291447178335173226 029857862929434650563669321626276738162459574179326988923272206666360819 924909888314685299409913867344460496708424429782436302329389103559656017 399422019886902572454714016330096121461872083651086881853340606220170995 158270704423370421801766963491336959960643220053288734948931359660304243 8080456594474333567831672703729636367594216999379522 Bibliografie 1. „The Golden Mean” – S. Finch (1999) 2. „A series representation for the Golden Mean” – B. Rossele (1999) 3. „Fibonacci Numbers and the Golden Section” – R. Knott (1997) 4. „Related e-messages” – R. W. Gosper (1997) 5. „The Golden Mean” – K. Wiedman (19996) 쥁`