Referat Functii Derivabile

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Functii Derivabile si de asemenea puteti face Download Referat functii derivabile

Citeste fragmente din Referat Functii Derivabile

CUPRINS NoTiuni teoretice……………………………..2 Derivata unei functii într-un punct 2 Operatii cu functii derivabile. Derivatele unor functii uzuale ..5 Proprietatile functiilor derivabile ………………………...10 AplicaTii …………………………………………..……18 Notiuni teoretice ξ I. Derivata unei funcţii într-un punct I.0o Originea noţiunii de derivată Au existat două probleme, una fizică - modelarea matematică a noţiunii intuitive de viteză a unui mobil - şi alta geometrică - tangenta la o curbă plană -, care au condus la descoperirea noţiunii de derivată. Am folosit de mai multe ori referiri la viteza unui mobil, dar abia acum vom putea da definiţia matematică a acestui concept. I.1o Definiţia derivatei unei funcţii într-un punct , x0 punct de acumulare al mulţimii E. Reţinem că ƒ este definită in x0. DEFINITIA 1: ) notată cu ƒ’(x0); 2) Dacă derivata ƒ’(x0) există şi este finită se spune că funcţia ƒ este derivabilă în x0. . 2.Trebuie remarcat că problema existenţei derivatei sau a derivabilităţii nu se pune în punctele izolate ale mulţimii E (dacă E are astfel de puncte!). Presupunem că ƒ’(x0) există; făcând translaţia x – x0 = h, atunci din relaţia de definiţie rezultă că DEFINITIA 2: E, atunci se spune că ƒ este derivabilă pe mulţimea F. In acest caz, funcţia F → R, x → ƒ’(x) se numeşte derivata lui ƒ pe mulţimea F şi se notează cu ƒ’. Operaţia prin care ƒ’ se obţine din ƒ se numeşte derivarea lui ƒ. TEOREMA 1. Orice funcţie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct. E, deci limita din definiţia 1 există şi este finită. În general reciproca teoremei este falsă. Un exemplu este funcţia modul în origine. În studiul existenţei limitei unei funcţii într-un punct un criteriu util l-a constituit egalitatea limitelor laterale. Adaptăm acest criteriu la studiul derivabilităţii unei funcţii într-un punct, ţinând cont că existenţa derivatei implică în fond existenţa unei anumite limite. DEFINITIA 3. . Dacă limita există (în R barat ), atunci această limită se numeşte derivata la stânga a funcţiei ƒ în punctul x0.Dacă , în plus, această limită există şi este finită, atunci se spune că ƒ este derivabilă la stânga în punctul x0. la dreapta şi noţiunea de funcţie derivabilă la dreapta în x0. nnnnnnnnnnnnn Dacă E=[ a, b], faptul că ƒ este derivabilă în a (respectiv b) revine la aceea că ƒ este derivabilă la dreapta în punctul a (respectiv la stânga în b). Exemplu : Pentru ƒ : R→R, ƒ(x) =| x |, avem Similar se obţine că: , regăsim că ƒ nu este derivabilă în punctul x = 0. I.2o Interpretarea geometrică a derivatei (a, b), atunci conform relaţiilor graficul lui ƒ are tangentă în x0 (sau mai corect în punctul (x0, ƒ(x0)), anume dreapta de ecuaţie (în sensul că limita din definiţie este infinită), atunci tangenta în (x0, ƒ(x0)) este paralelă cu axa Oy. Fără nici o dificultate , se poate vorbi de semitangentă la dreapta sau la stânga într-un punct la un grafic, în legătură cu derivatele laterale respective în acel punct. Geometric, pentru o funcţie derivabilă într-un punct, direcţiile semitangentelor la dreapta şi stânga la grafic în acel punct coincid. (sau invers), atunci punctul x0 se numeşte punct de întoarcere al graficului lui ƒ. Exemple : , scriem ecuaţia tangentei în punctul x0 = 1. şi ecuaţia cerută este (fig. 3). ξ II. Operaţii cu funcţii derivabile. Derivatele unor funcţii uzuale Am întâlnit deja exemple de funcţii derivabile. Este utilă o sinteză a derivatelor funcţiilor uzuale şi se impune stabilirea unor reguli generale de derivare a sumelor, produselor, compunerilor etc. de funcţii derivabile. II.1o Derivatele câtorva funcţii uzuale Orice funcţie constantă ƒ: R → R, ƒ(x)=c este derivabilă pe R, cu derivata nulă (1). Funcţia putere ƒ: R → R, ƒ(x) = xn ( n real şi x > 0) este derivabilă pe R şi ƒ’(x)=nxn-1. (2). ) → R, ƒ (x) = ln x este derivabilă pe domeniul de definiţie şi are derivata (3). avem (sin x)’ = cos x (cos x)’= -sin x Demonstraţiile tuturor acestor derivate se fac uşor folosind definiţia derivatei. II.2o Reguli de derivare R, funcţiile ƒ + g, ƒ-g, fg etc. au aceeaşi proprietate. o constantă. Atunci : (a) suma ƒ + g este derivabilă în x0 şi (b) λƒ este derivabilă în x0 şi (c) produsul ƒg este o funcţie, derivabilă în x0 şi Demonstraţia se face de asemenea uşor folosind definitia derivatei. Generalizând se obţine următorul COROLAR. Dacă ƒ1, ƒ2,…ƒk sunt funcţii derivabile în punctul x0, atnuci suma ƒ1 + ƒ2 + … +ƒk, respectiv produsul ƒ1ƒ2…ƒk sunt derivabile în x0 şi, în plus: şi este derivabilă în x0 şi, în plus : II.3o Derivarea unei funcţii compuse şi a inversei unei funcţii Trecem acum la stabilirea altor două teorema generale de derivare, relativ la compunere şi inversare. Deosebit de importantă este formula de derivare a funcţiilor compuse. In acest sens, are loc f este derivabilă pe I şi are loc formula : Demonstraţie. Avem de arătat că Considerăm funcţia ajutătoare F:I→R, definită prin Funcţia F este continua în punctul y0 deoarece x0 avem y0 şi, conform funcţiei ajutătoare , deci relaţia precedentă este dovedita în ambele cazuri. Observând că F(f(x))→F(f(x0)=F(y0)=g’(y0) şi trecând la limită (x→x0) relaţia precedentă rezultă că 0, atunci inversa g=f-1 este derivabilă în punctul y0=f(x0) şi, în plus, x0 şi, în plus, . . Primul raport din relaţia de mai sus va avea limită, deci funcţia g este derivabilă în punctul y0. Ceea ce trebuia de demonstrat. Această teoremă se foloseşte la aflarea derivatelor unor inverse de funcţii. Cum ar fii arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x. II.4o Derivatele funcţiilor uzuale şi a regulilor de derivare Reguli de derivare II. Tabloul de derivare al funcţiilor elementare Funcţia R ază uşor folosind definiţia derivatei şi teorema 6. Teorema de derivare a funcţiilor compuse împreună cu tabloul anterior permite obţinerea următoarelor formule utilizate (unde u = u(x) este o funcţie derivabilă). Tabloul de derivare al funcţiilor compuse Adăugăm că dacă u, v sunt funcţii derivabile şi u > 0, atunci funcţia uv = evlnu are derivata ξ III. Proprietăţile funcţiilor derivabile In continuare vom da metode de determinare a punctelor de maxim şi minim, a intervalelor de monotonie, a intervalelor de convexitate etc. ale unei funcţii, în care rolul derivatelor este esenţial. Unele din teoremele care urmează sunt intuitiv evidente (folosind de regulă interpretare geometrică a derivatei) şi demonstraţiile pot fi la început omise, insistând pe înţelegerea enunţurilor. III.1o Puncte de extrem. Teorema lui Fermat Intr-o serie de probleme tehnice sau economice, şi bineînţeles matematice, este important de ştiut care sunt maximele şi minimele anumitor mărimi variabile. După ce problemele capătă o formulare matematică, adeseori ele se reduc la determinarea punctelor de extrem ale anumitor funcţii. Sunt necesare în prealabil câteva definiţii precise. DEFINITIA 4: A să avem ). In acest caz valoarea ƒ(x0) se numeşte un maxim (respectiv un minim) relativ al lui ƒ. Punctele de maxim sau de minim relativ se mai numesc puncte de extrem relativ. Dacă inegalităţile din definiţie sunt stricte se spune că x0 este un punct de extrem strict. Valorile funcţiei în punctele ei de extrem relativ se mai numesc extremele relative ale funcţiei. Observaţii. 1) Funcţia considerată trebuie să fie neapărat cu valori reale. se mai numesc extremele globale ale lui ƒ pe A.. Punctele de extrem relativ se mai numesc puncte de extrem local, deoarece inegalităţile de tipul celor din definiţie sunt verifica te nu neapărat pe întreg domeniul de definiţie al funcţiei ƒ ci numai un jurul lui x0. este atinsă pe mulţimea A, atunci orice punct x astfel încât ƒ(x0)=M va fi un punct de maxim (nu neapărat strict). O situaţie analoagă (cu sensul inegalităţii schimbat) are loc pentru marginea inferioară şi pentru punctele de minim. Dacă marginea superioară nu este atinsă pe mulţimea A, atunci se poate spune că funcţia nu are puncte de maxim (fig. 4). I un punct de extrem (relativ) al unei funcţii ƒ: I(R. Dacă ƒ este derivabilă în punctul x0, atunci ƒ’(x0)=0. I) astfel încât . U, x < x0), deci f’(x0) ( 0, f’(x0) ( 0, de unde f’(x0) = 0. Observaţii. 1) Dacă nu ar fi fost interval deschis, de exemplu I=[a, b] şi x0=a (sau x0=b), atunci teorema nu ar fi fost adevărată pentru că ƒ(x) nu ar fi fost definită pentru x< a, respectiv pentru x > b (fig. 5 a). 2) Reciproca teoremei lui Fermat este în general falsă: din faptul că ƒ este derivabilă într-un punct x0 şi ƒ’(x0)=0 nu rezultă că x0 este punct de extrem. De exemplu, pentru funcţia ƒ(x)=x3 avem ƒ’(0)=0, dar punctul x0=0 nu este punct de extrem local pentru că ƒ este strict crescătoare (fig. 5 b). Se mai spune că teorema lui Fermat dă condiţii necesare de extrem, dar nu şi suficiente. y y y ƒ ƒ y=x3 0 0 a b x x 0 x a. b c. Fig 5. Teorema lui Fermat are o interpretare geometrică evidentă : în condiţiile enunţului, într-un punct de extrem, tangenta la grafic este paralelă cu axa Ox ( fig. 5 c). Dacă ƒ: I(R este o funcţie derivabilă pe un interval deschis I, atunci zerourile derivatei ƒ’ pe I sunt numite şi puncte critice ale lui ƒ pe I; teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local sunt printre punctele critice. In practică, pentru determinarea punctelor de extrem ale unei funcţii ƒ derivabile pe un interval deschis sau pe o reuniune de intervale deschise, se rezolvă mai întâi ecuaţia ƒ(x)=0. Vom vedea mai târziu cum putem decide care din soluţiile acestei ecuaţii sunt puncte de extrem pentru ƒ. 4.2 Teorema lui Rolle O funcţie ƒ: [a, b] (R (a< b) se numeşte funcţie Rolle dacă este continuă pe intervalul compact [a, b] şi derivabilă pe intervalul deschis (a, b). Teorema care urmează este o consecinţă a rezultatelor privind funcţiile şi a teoremei lui Fermat, foarte utilă în aplicaţii. X ^ ` Ä Ê î ð ö ú ü þ V X Ä Æ H* Æ Æ 옍 Æ 옍 Æ Æ Æ j ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b 愀̤ ¯ Þ Ô Æ (a, b) astfel încât ƒ’(c)=0. . Apar trei cazuri : (a, b) şi cum c este maxim local, atunci conform teoremei lui Fermat ƒ’(c)=0. m< ƒ(a). Similar. (a, b). COROLAR. Intre două zerouri ale unei funcţii derivabile pe un interval se află cel puţin un zerou al derivatei. Demonstraţie. Fie ƒ: I(R derivabilă pe un interval I şi a, b I, a< b, zerouri ale lui ƒ. Atunci ƒ(a)=0=ƒ(b) şi putem aplica teorema lui Rolle pe intervalul [a, b]. Teorema lui Rolle admite o interpretare geometrică evidentă: dacă segmentul determinat de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) este paralel cu axa Ox, atunci există cel puţin un punct între a şi b în care tangenta la graficul lui ƒ este paralelă cu axa Ox (fig. 6). Observaţii. Toate condiţiile din enunţul teoremei lui Rolle sunt necesare, în sensul că dacă s-ar renunţa la vreuna din ele, atunci concluzia nu ar mai fi întotdeauna adevărată. Dacă ƒ ar fi continuă numai pe intervalul deschis (a, b), exemplul funcţiei arată că ƒ’ nu se anulează pe intervalul (0, 1) deşi ƒ(0)=ƒ(1). (fig. 7). ƒ(b), este suficient să considerăm funcţia ƒ(x)= x pe [0, 1] (fig 8). c) Dacă ƒ nu ar fi derivabilă pe întreg intervalul (a, b), concluzia teoremei ar fi falsă, aşa cum arată exemplul funcţiei ƒ(x)=| x | pe intervalul [-1, 1]. 4.3 Teorema lui Lagrange şi teorema lui Cauchy. (a, b) astfel încât ƒ(b)- ƒ(a)= (b- a)ƒ’(c) [a, b], cu k o constantă reală , pe care o vom determina din condiţia F(a)= F(b). Aşadar avem că, y y y ƒ 1 1 y= x y= x ƒ(a)=ƒ(b) 0 a c b x 0 1 x 0 1 x Fig 6. Fig 7. Fig 8. = 0 şi se obţine relaţia din enunţ. rezultă 0< (< 1 şi c= a+ ((b- a)ƒ’(a+ ((b- a)), cu 0< (< 1.  2) Ca şi în cazul teoremei lui Rolle, ƒ punctul c nu este unic. Interpretarea geometrică a teoremei lui Lagrange rezultă din interpretarea geometrică a derivatei şi 0 a c b x este următoarea: există cel puţin un punct c(a, b) pentru care tangenta la graficul lui ƒ in Fig 9. (c, ƒ(c)) este paralelă cu „coarda” determinată de punctele (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)) (fig 9). (a, x) nu neapărat unic, depinzând de x; uneori se scrie c= cx, ca atare, ƒ(x)- ƒ(a)= x- a)ƒ’(cx). Este important de remarcat că dacă x( a, atunci cx( a. Iată acum un corolar al teoremei lui Lagrange, care este util în a decide derivabilitatea unei funcţii într-un punct. , atunci ƒ’(x0) există şi ƒ’(x0)=(. Dacă limita este finită, atunci ƒ este derivabilă în x0. există şi este egală cu (, deci ƒ are derivată în x0 şi ƒ’(x0)=(. . Nu există nici un motiv să considerăm aici că avem c= c’; totuşi se poate demonstra.. (a, b) astfel încât (a, b) astfel ca g’(c)=0, ceea ce contravine ipotezei. , de unde se obţine relaţia ce trebuia demonstrată. Observaţie. Am fi putut mai întâi sa demonstrăm teorema lui Cauchy şi apoi, pentru g(x)=x, am fi demonstrat teorema lui Lagrange.. In cele ce urmează, vom indica o proprietate importantă a funcţiilor care admit primitive, deci care sunt derivate ale altor funcţii. TEOREMA 11. (teorema lui Darboux).Dacă ƒ: I(R este o funcţie derivabilă pe un interval I, atunci derivata sa ƒ’ are proprietatea lui Darboux (adică nu poate trece de la o valoare la alta fără a trece prin toate valorile intermediare). (a, b) astfel încăt ƒ’(c)=(. Pentru aceasta vom considera funcţia auxiliară F(x)=ƒ(x)-(x; evident, F’(a)=ƒ’(a)-(<0 şi F’(b)=ƒ’(b)-(>0. (a, b) şi din teorema lui Fermat se obţine F’(c)=0. Dar aceasta arată că f’(c)-(=0, adică ƒ’(c)=(, tocmai ce trebuia verificat. Pentru a arăta că punctul c aparţine intervalului (a, b), vom proceda astfel: alegem (>0 astfel încât |F’(a)|>( şi F’(b)>(. Din definiţia derivatei lui F în punctele a şi b, există (>0 depinzând de ( astfel încât din faptul că |x- a|>( (respectiv |x- b|>( ) să rezulte că Deoarece F’(a)+(<0, raportul va fi strict negativ, pentru orice x> a, x-a<(. Deci F(x)-(a)<0, adică F(x)0, rezultă că F(x) ae+ b= 1(b= 1- ae Pentru ca ƒ să fie derivabilă în e trebuie ca : => e ( b=-2. şi b= -2. R, este derivabilă în a dacă şi numai dacă ƒ(a)=0. Matematică, Constanţa,1997 Soluţie : Explicităm funcţia g (f(a)= 0, ceea ce este evident. .Să se determine parametrii reali a, b, c astfel încât ƒ să fie derivabilă de două ori pe R şi pentru valorile găsite să se calculeze ƒ’. Colegiul de Informatică, Cluj Napoca, 1996 Soluţie : => c=1 . => b= -1 Caz I. x(0 Caz II. x>0 Conform celor două cazuri derivata funcţiei este : . . După aflarea lui a, b , c funcţia devine . P7. Să se arate că : Matematică, Piteşti, 1996 Soluţie : 1. Caz I. x=1 . 1 .Derivând această relaţie se obţine , tocmai ce era de demonstrat. [-1,1]. Arătaţi că ƒ este derivabilă în origine şi calculaţi ƒ’(0). Matematică, Iaşi, 1990 Soluţie : 0 => 0(f(0)(0 => f(0)=0; ; N*. Academia Tehnică Militară, 1996 Soluţie : . Analog se calculează şi derivata de ordinul n a funcţiei f2 care este P10. Să se arate că nu există nici un polinom, a cărui restricţie la intervalul [0, 1] să fie egală cu funcţia ƒ:[0, 1](R dată de ƒ(x)= ln(1+ x). Învăţământ economic 1981 Soluţie : [0, 1]. P11. Să se arate că au loc inegalităţile : Matematică, Braşov, 1990 Soluţie : care verifică condiţiile teoremei lui Rolle, deci putem spune că este o funcţie Rolle. Aplicând teorema lui Lagrange rezultă că P12. Verificaţi aplicabilitatea teoremei lui Lagrange pentru funcţia ƒ:[a, b](R, a, b>0, definită prin ƒ(x)=1+xlnx şi demonstraţi inegalităţile Informatică, Iaşi 1996 Soluţie : => ƒ este continuă pe [a, b] şi derivabilă pe (a, b) fiind o compunere de funcţii elementare. Aplicând teorema lui Lagrange rezultă că Cum a< c< b rezultă că . Functii derivabile PAGE PAGE 25 (4). 쥁@