Referat Circuit Ramificat De Curent Continuu Cu Mai Multe Surse De Energie

Mai jos puteti citi fragmente din Referat Circuit Ramificat De Curent Continuu Cu Mai Multe Surse De Energie si de asemenea puteti face Download Referat Circuit ramificat de curent continuu cu mai multe surse de energie

Citeste fragmente din Referat Circuit Ramificat De Curent Continuu Cu Mai Multe Surse De Energie

CUPRINS TOC o "1-3" CAPITOLUL 3 PAGEREF _Toc63697864 h 1 CIRCUIT RAMIFICAT DE CURENT CONTINUU CU MAI MULTE SURSE DE ENERGIE CONECTATE ÎN RAMURI DIFERITE PAGEREF _Toc63697865 h 1 3.1 Principiul superpoziţiei curenţilor PAGEREF _Toc63697866 h 1 Enunţul problemei PAGEREF _Toc63697867 h 1 Rezolvarea problemei. PAGEREF _Toc63697868 h 1 Discuţii suplimentare. PAGEREF _Toc63697869 h 6 3-2. METODA ECUAŢIILOR LUI KIRCHHOFF PAGEREF _Toc63697870 h 7 Enunţul problemei. PAGEREF _Toc63697871 h 7 Rezolvarea problemei. PAGEREF _Toc63697872 h 7 Discuţii suplimentare. PAGEREF _Toc63697873 h 10 3-3 METODA CURENŢILOR CICLICI (OCHIURILOR INDEPENDENTE) PAGEREF _Toc63697874 h 12 Enunţul problemei. PAGEREF _Toc63697875 h 12 Rezolvarea problemei. PAGEREF _Toc63697876 h 12 Discuţii suplimentare. PAGEREF _Toc63697877 h 14 3-4. METODA CELOR DOUĂ NODURI. PAGEREF _Toc63697878 h 16 Enunţul problemei PAGEREF _Toc63697879 h 16 Rezolvarea problemei. PAGEREF _Toc63697880 h 16 Discuţii suplimentare. PAGEREF _Toc63697881 h 19 3-5. METODA GENRATORULUI ECHIVALENT DE TENSIUNE. REGIMUL CU SARCINĂ VARIABILĂ. PAGEREF _Toc63697882 h 21 Enunţul problemei. PAGEREF _Toc63697883 h 21 Rezolvarea problemei. PAGEREF _Toc63697884 h 21 Discuţii suplimentare. PAGEREF _Toc63697885 h 25 3-6. PROBLEME PROPUSE PENTRU REZOLVARE. PAGEREF _Toc63697886 h 28 BIBLIOGRAFIE PAGEREF _Toc63697887 h 30 CAPITOLUL 3 CIRCUIT RAMIFICAT DE CURENT CONTINUU CU MAI MULTE SURSE DE ENERGIE CONECTATE ÎN RAMURI DIFERITE 3.1 Principiul superpoziţiei curenţilor Enunţul problemei Pentru circuitul din fig. 3-1 să se determine curenţii în toate porţiunile de circuit şi tensiunile între nodurile A, B şi C pentru următoarele date: R1 = R3 = 2 Ω; R2 = 1,6 Ω; E1 = 3,6 V; E2 = 4,8 V; r01 = r02 = 0,5 Ω. I1 A IBA R2 B I2 + + E1 R1 R3 E2 r01 − IAC IBC − r02 K C M Fig. 3-1. Circuit complex conţinând două surse de energie. Rezolvarea problemei. 1. Aplicarea principiului superpoziţiei curenţilor pentru curentul din fig. 3-1. Circuitele ramificate formate din mai multe surse de energie, amplasată în ramuri diferite, ca în fig. 3-1, se numesc circuite complexe. Pentru calcularea unui astfel de circuit complex există mai multe metode, dintre care una, principiul superpoziţiei, se va examina în acest paragraf, celelalte metode constituind subiectul paragrafelor următoare. Conform principiului superpoziţiei, numit câteodată şi principiul suprapunerii efectelor, curentul într-o latură oarecare a circuitului poate fi considerat ca suma algebrică a curenţilor produşi în acea latură de fiecare sursă în parte. Curenţii produşi de fiecare sursă se numesc curenţi parţiali. Prima dată se determină curenţii parţiali, pentru problema de aici ai sursei E1 în absenţa sursei E2, adică se calculează circuitul simplu din fig. 3-2, după care se determină curenţii parţiali produşi de sursa E2 neluând în considerare sursa E1, adică se calculează circuitul simplu din fig. 3-3, după care se adună algebric curenţii parţiali din cele două cazuri. Astfel, principiul superpoziţiei permite înlocuirea calcului unui circuit conţinând mai multe surse de energie prin calculul mai multor circuite formate numai dintr-o singură sursă de energie. I’1 A I’AB R2 B I’2 + E1 R1 R3 r02 r01 − I’AC I’BC I’1 I’2 K C M Fig. 3-2. Eliminarea sursei E2 din circuitul complex din fig. 3-1. I”1 A I”BA R2 B I”2 R1 R3 + E2 r01 I”AC I”BC r02 I”1 I”2 K C M Fig. 3-3. Eliminarea sursei E1 din circuitul complex din fig. 3-1. 2. Notarea curenţilor parţiali. Toţi curenţii parţiali produşi de sursa E1 (fig. 3-2) se notează cu litera I urmată de indicele prim (I`) şi toţi curenţii parţiali produşi de sursa E2 prin indicele secund (I”) (fig. 3-3). 3. Calculul curenţilor parţiali. Pentru circuitul format numai din sursa E1 (fig. 3-2) se calculează, mai întâi rezistenţa echivalentă. Astfel rezistenţa porţiunii BC: R3 · r02 2 · 0,5 R’BC = ─────── = ────── = 0,4 Ω R3 + r02 2 + 0,5 Rezistenţa porţiunii BC este conectată în serie cu rezistenţa R2, deci: R’ABC = R2 + R’BC = 1,6 + 0,4 = 2 Ω Se obţin astfel două rezistenţe identice R’ABC şi R1 conectate în paralel, din care cauză rezistenţa echivalentă a circuitului exterior sursei E1 este: R1 R’ABC 2 R’AC = ──── = ───── = ─── = 1 Ω 2 2 2 Curentul de la sursa E1 este: E1 3,6 I’1 = ──────── = ──── = 2,4 A R01 + R’AC 1,5 Curentul parţial I’1 se împarte în nodul A în doi curenţi identici: I’1 2,4 I’AB = I’AC = ───── = ──── = 1,2 A 2 2 În nodul B curentul I’AB se divizează în curenţii I’2 şi I’BC: R3 2 I’2 = I’AB · ─────── = 1,2 · ────── = 0,96 A; r02 + R3 0,5 + 2 I’BC = I’AB – I’2 = 1,2 – 0,96 = 0,24 A Pentru circuitul al doilea, care conţine numai sursa E2, (fig. 3-3), se obţine: R1 · r01 2 · 0,5 R”AC = ─────── = ────── = 0,4 Ω ; R1 + r01 2 + 0,5 R”BA = R2 + R”AC = 1,6 + 0,4 = 2 Ω ; R”BAC 2 R”BC = ────── = ─── = 1 Ω, pentru că R3 = R”BAC. 2 2 În latura de circuit care conţine sursa E2, circuitul parţial este: E2 4,8 I”2 = ──────── = ──── = 3,2 A. R”BC + r02 1,5 Din cauză că R”BAC = R3 = 2 rezultă că: I”2 3,2 I”BA = I”BC = ───── = ─── = 1,6 A. 2 2 Curenţii prin porţiunile de circuit conectate în paralel cuprinse între nodul AC sunt: R1 2 I”1 = I”BA · ─────── = 1,6 · ────── = 1,28 A ; r01 + R1 2,5 I”AB = I”BA – I”1 = 1,6 – 1,28 = 0,32 A 4. Calculul curenţilor pentru circuitul complex din fig. 3-1. Curenţii prin laturile de circuit se obţin prin însumarea algebrică a curenţilor parţiali din latura respectivă. Pentru latura CKA, curentul parţial I’1(fig. 3-2) este orientat de la nodul C înspre nodul A şi curentul parţial I”1 (fig. 3-3) dinspre nodul A către nodul C, adică în sens opus cu primul curent parţial. Curentul total prin latura CKA fiind: I1 = I’1 – I” 1 = 2,4 – 1,28 = 1,12 A Sensul curentului I1 (fig. 3-1) coincide cu sensul celui mai mare curent parţial, în cazul de aici cu sensul curentului I’1. La fel se determină şi curenţii IBA şi I2: IBA = I”BA – I’AB = 1,6 – 1,2 = 0,4 A ; I2 = I” 2 – I’2 = 3,2 – 0,96 = 2,24 A. Direcţia curenţilor IBA şi I2 (fig. 3-1) coincide cu direcţia curenţilor I” BA respectiv I” 2. Pentru latura AC, cei doi curenţi parţiali I’AC şi I” AC au acelaşi sens, deci: IAC = I’AC + I” AC = 1,2 + 0,32 = 1,52 A. La fel şi pentru latura BC: IBC = I’BC + I” BC = 0,24 + 1,6 = 1,84 A. 5. Calculul tensiunilor. Tensiunile între noduri sunt: UBA = IBA · R2 = 0,4 · 1,6 = 0,64 V; UAC = IAC · R1 = 1,52 · 2 = 3,04 V; UBC = IBC · R3 = 1,84 · 2 = 3,68 V. 6. Verificarea rezultatelor obţinute. Verificare se face utilizând teoremele lui Kirchhoff: Pentru nodul A: IAC = I1 + IBA În adevăr: 1,52 = 1,12 + 0,4. Pentru nodul B: I2 = IBA + IBC În adevăr: 2,24 = 0,4 + 1,84 Pentru conturul din circuitul ABC: UAC – UCB + UBA = 0 În adevăr: 3,04 – 3,68 + 0,64 = 0 conturul stabilindu-se în sens antiorar. Discuţii suplimentare. 1. Cum se aplică principiul superpoziţiei, pentru calcularea circuitelor complexe care conţin mai mult de două surse de energie? Dacă un circuit complex are, de exemplu, trei surse de energie E1, E2 şi E3, amplasate în ramuri diferite, trebuie să se stabilească trei scheme pentru calcularea curenţilor parţiali: o schimă care conţine numai sursa E1, a doua care conţine numai sursa E2 şi a treia cu E3. După determinarea curenţilor parţiali în fiecare din cele trei scheme se efectuează în mod corespunzător adunarea lor algebrică şi se obţin curenţii pentru circuitul dat. 2. Care sunt avantajele folosirii principiului superpoziţiei? Dificultatea cea mai mare, în aplicarea principiului superpoziţiei îl constituie calcularea curenţilor parţiali. Din această cauză, acest principiu este folosit pentru un număr mic de surse de energie, două, câteodată trei. Acest principiu se recomandă a fi utilizat pentru determinarea curenţilor în laturile de circuit în care sunt dispuse sursele de energie. 3. În ce caz calcularea curenţilor cu ajutorul principiului superpoziţiei poate să introducă erori mari la determinarea rezultatelor? În cazul în care curentul total printr-o latură se exprimă prin diferenţa a două valori apropiate, o aproximare, chiar cu eroare mică a curenţilor parţiali poate să provoace o eroare relativ mare a rezultatului, care este curentul laturii. În acest caz aplicarea principiului superpoziţiei este dezavantajoasă. 3-2. METODA ECUAŢIILOR LUI KIRCHHOFF Enunţul problemei. Fie circuitul din fig. 3-4, în care E1 = 60 V; E2 = 48 V; E3 = 6 V; R1 = 200 Ω; R2 = 160 Ω; R3 =10 Ω. Să se determine curenţii prin toate laturile de curent: D I1 A G I2 I3 R1 R2 R3 E1 E2 E3 C B F Fig. 3-4. Circuit complex cu trei laturi. Rezolvarea problemei. 1. Principiul metodei. Această metodă se bazează pe aplicarea primei şi celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff, care nu necesită transfigurarea schemei şi este aplicabilă pentru orice circuit, fapt care constituie principalul ei avantaj. Câte ecuaţii trebuiesc scrise pentru rezolvarea circuitului? Este evident că numărul de ecuaţii trebuie să fie egal cu numărul de necunoscute, în cazul acestei probleme, cu numărul curenţilor. Rezolvarea problemei trebuie, deci, să înceapă cu determinarea numărului de curenţi necunoscuţi. 2. Determinarea numărului de curenţi necunoscuţi şi alegerea sensului acestor curenţi. În fiecare porţiune de circuit neramificat (latură) curentul are aceeaşi valoare de la începutul şi până la sfârşitul ei. Pentru circuitul examinat (fig. 3-4) în nodurile A şi B sunt conectate trei porţiuni de circuit (laturi): BCDA prin care curentul este I1, BA cu curentul I2 şi BFGA având curentul I3. Astfel, numărul de curenţi diferiţi este egal cu numărul laturilor circuitului electric. Cum se aleg sensurile curenţilor? Se ştie că pentru un circuit complex este imposibil de determinat sensurile tuturor curenţilor, fără a se calcula, în prealabil, circuitul. Se începe, deci, prin alegerea, în mod arbitrar, a sensurilor curenţilor (a sensurilor pozitive ale curenţilor); după aceea pentru sensurile alese se stabilesc ecuaţiile. După rezolvarea acestor ecuaţii se găsesc sensurile efective ale curenţilor după sensul lor algebric, astfel: curenţii a căror sensuri efective sunt opuse sensurilor alese iniţial sunt exprimate prin numere negative. Astfel, pentru prezentul caz, se poate susţine încă înainte de calcularea circuitului că nu toate sensurile alese (notate prin săgeţi în fig. 3-4) coincid cu sensurile reale (efective) pentru că este evident faptul că toţi curenţii nu pot fi dirijaţi spre nodul A. În concluzie, curenţii din ecuaţiile lui Kirchhoff sunt mărimi algebrice a căror semne depind de sensul curenţilor. 3. Stabilirea ecuaţiilor după teoremele lui Kirchhoff. Pentru problema de aici există trei curenţi necunoscuţi I1, I2 şi I3, iar pentru determinarea lor este necesar să se stabilească trei ecuaţii. Se începe prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Pentru un circuit care are n noduri se pot stabili un număr (n-1) de ecuaţii independente; pentru un nod oarecare al circuitului nu mai este necesară scrierea ecuaţiei pentru că aceasta rezultă din ecuaţiile precedente. Circuitul din fig. 3-4 are două noduri A şi B. Scriind, deci, o singură ecuaţie, cu prima teoremă a lui Kirchhoff, de exemplu, pentru nodul A, avem: I1 + I2 + I3 = 0 (3-1) Celelalte două ecuaţii căutate se scriu după teorema a doua a lui Kirchhoff, de exemplu, pentru ochiurile de circuit BAGFB şi CDGFC, (pentru ca ecuaţiile să fie independente, fiecare ochi trebuie să conţină faţă de ochiul precedent o latură de circuit în plus). Parcurgând fiecare ochi în sens orar şi ţinând seama de regula semnelor (v. discuţia suplimentară 3 din paragraful 2-1) se obţine: R2· I2 – R3· I3 = E2 – E3 (3-2) R1· I1 – R3· I3 = E1 – E3 (3-3) 4. Calculul curenţilor. Înlocuind în ecuaţiile (3-2) şi (3-3) valorile rezistenţelor şi valorile t.e.m. se obţine: 100 · I2 – 10 · I3 = 48 – 6 sau 100 · I2 – 10 · I3 = 42 (3-4) 200 · I1 – 10 · I3 = 54 (3-5) Astfel, calculul curenţilor se reduce la rezolvarea unui sistem de trei ecuaţii (3-1), (3-4) şi (3-5) cu trei necunoscute. Scoţând curentul I2 din ecuaţia (3-1) şi introducând valoarea sa în ecuaţia (3-4): - 100 · (I1 + I3) – 10 · I3 = 42 reducând termenii asemenea se obţine: - 100 · I1 – 110 · I3 = 42 (3-6) S-au obţinut, astfel, două ecuaţii (3-5) şi (3-6) cu două necunoscute I1 şi I3. Înmulţind ecuaţia (3-6) cu 2 şi adunând rezultatul, termen cu termen cu ecuaţia (3-5) se obţine: - 10 · I3 – 220 · I3 = 138, de unde rezultă curentul 138 I3 = - ───── = - 0,6 A. 230 Înlocuind valoarea curentului I3 în ecuaţia (3-6) se obţine că: - 100 · I1 – 100 · (- 0,6) = 42 de unde: 42 – 66 I1 = ───── = 0,24 A -100 Curentul I2 se determină din ecuaţia (3-1) I2 = - I1 – I3 = - 0,24 + 0,6 = 0,36 A Curenţii I1 şi I2 au valori pozitive şi I3 valoare negativă, în consecinţă, sensul primilor doi curenţi a fost ales în mod corespunzător, în timp ce curentul I3 nu. Sensul real (efectiv) al curentului I3 este reprezentat printr-o săgeată punctată în fig. 3-4. Suma curenţilor I1 + I2 = 0,24 + 0,36 = 0,6 A este curentul I3 şi care are sensul real din nodul A înspre nodul B pa latura AGFB. Discuţii suplimentare. 1. Câte contururi conţin circuitele reprezentate în fig. 3-4 şi 3-1? Circuitul din fig. 3-4 are trei contururi: DABCD, DGFCD şi AGFBA. Pentru stabilirea a două ecuaţii cu cea de a doua teoremă a lui Kirchhoff este necesar şi suficient să se aleagă două contururi. Pentru simplificarea calculelor se recomandă să se aleagă contururi care formează ochiuri independente, în cazul de aici DABCD şi AGFBA. Numărul de ochiuri este întotdeauna egal cu numărul ecuaţiilor independente care se pot scrie cu cea de a doua teoremă a lui Kirchhoff. Pentru calcularea circuitului din fig. 3-1 prin intermediul teoremelor lui Kirchhoff, trebuie să se stabilească cinci ecuaţii independente (circuitul având 5 laturi de circuit). Circuitul are trei noduri A, B şi C, şi drept urmare cu prima teoremă a lui Kirchhoff se pot stabili două ecuaţii independente. Celelalte trei ecuaţii care lipsesc (până la cinci) se scriu cu ajutorul celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff. Pentru circuitul din fig. 3-1 se pot distinge 6 contururi : ACKA, ABCKA, ABMKA, ABCA, ABMCA şi BMCB, dar se obţin ecuaţii independente numai pentru trei contururi, de exemplu, ACKA, ABCA şi BMCB şi care conţine fiecare o latură în plus. Astfel, un circuit electric ramificat conţine mai multe contururi pentru care se pot stabili ecuaţii. 2. Cum decurg calculele dacă valorile ecuaţiilor sunt cunoscute şi se cere determinarea celorlalţi parametri ai circuitului? Este evident că prin rezolvarea celor trei ecuaţii independente (3-1), (3-2) şi (3-3) scrise pentru circuitul din fig. 3-4 se determină fiecare din cele 3 mărimi necunoscute. De exemplu, atunci când se cunosc curenţii şi rezistenţele se poate determina t.e.m. E1, E2 şi E3 sau când se dau curenţii şi t.e.m. se pot afla rezistenţele. Astfel, rezolvarea unui circuit după metoda ecuaţiilor lui Kirchhoff poate fi efectuată pentru orice mărime. Numărul mărimilor necunoscute nu trebuie să depăşească numărul ecuaţiilor independente care se pot stabili cu ajutorul celor două teoreme a lui Kirchhoff. 3. Pentru parcurgerea contururilor trebuie să se aleagă întotdeauna acelaşi sens? Pentru scrierea ecuaţiilor (3-2) şi (3-3) s-a ales acelaşi sens de parcurgere a contururilor şi anume sensul orar. Luând, de exemplu, pentru conturul AGFBA din fig. 3-4 sensul de parcurgere opus se obţine: R3 · I3 – R2 · I2 = E3 – E2 (3-7) Comparând ecuaţiile (3-2) şi (3-7) se observă că ele sunt identice, trecerea de la una la alta făcându-se prin înmulţirea ambilor membrii ai ecuaţiei cu –1. În consecinţă, alegerea sensului de parcurgere a conturului poate fi făcută în mod arbritar. 4. Prezintă avantaj rezolvarea problemei a cărei circuit este dat în fig. 3-1 prin metoda ecuaţiilor lui Kirchhoff? Circuitul electric din fig. 3-1 are cinci curenţi necunoscuţi pentru aflarea cărora trebuiesc stabilite cinci ecuaţii, două după prima teoremă a lui Kirchhoff şi trei după a doua teoremă a lui Kirchhoff. Rezolvarea unui sistem de cinci ecuaţii nu este aşa simplă ca rezolvarea a două ecuaţii simple, ca atunci când curenţii se determină cu ajutorul principiului superpoziţiei. 3-3 METODA CURENŢILOR CICLICI (OCHIURILOR INDEPENDENTE) Enunţul problemei. Pentru circuitul din fig. 3-5, care s-a calculat în paragraful precedent prin metoda ecuaţiilor lui Kirchhoff, să se determine toţi curenţii pentru aceleaşi date prin metoda curenţilor ciclici. D A G I1 I2 I3 R1 R2 R3 E1 E2 E3 C B F Fig. 3-5. Curenţii de contur ai unui circuit cu trei laturi. Rezolvarea problemei. 1. Curenţii de contur (ciclici) şi legătura lor cu curenţii laturilor. Metoda curenţilor ciclici se bazează pe utilizarea numai celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff, ceea ce permite micşorarea numărului de curenţi de rezolvat. Pentru aceasta, se împarte schema în ochiuri (contururi independente) şi se introduce pentru fiecare ochi (contur) curentul său de contur, mărime care, necunoscută fiind, trebuie calculată. Astfel, pentru circuitul dat, fig. 3-5, se pot realiza două ochiuri, DABCD ŞI AGFBA şi prin aceste contururi trec curenţii ciclici I11 şi I22. Din schemă se observă că pentru laturile exterioare, DC şi GF curenţii de contur coincid cu curenţii prin laturi, adică I1 = I11 şi I3 = I22. Pentru latura din mijloc, porţiunea de circuit AB din fig. 3-5, curentul I2 al laturii este determinat de diferenţa curenţilor ciclici, adică I2 = I22 – I11, ţinându-se seama că pentru problema de aici, curentul I2 este dirijat în acelaşi sens cu curentul I22 şi are sens opus curentului I11. În consecinţă, pentru problema dată, doi curenţi de contur permit calcularea curenţilor din trei laturi de circuit. 2. Determinarea rezistenţelor proprii şi comune a contururilor. Suma tuturor rezistenţelor unui contur se numeşte rezistenţa proprie a conturului, astfel, pentru conturul DABCD (fig. 3-5) rezistenţa proprie este: R11 = R1 + R2 = 200 + 100 = 300 Ω. şi pentru conturul AGFBA: R22 = R2 + R3 = 100 + 10 = 110 Ω. Rezistenţa unei laturi comune pentru două contururi, ca latura AB din fig. 3-5 se numeşte rezistenţă comună. Ea se notează cu R12 pentru primul contur şi pentru al doilea contur cu R21. Observând că R12 şi R21 reprezintă rezistenţa aceleaşi laturi de circuit, este evident că R12 = R21. Pentru cazul de aici R12 = R21 = R2 = 100 Ω. 3. Stabilirea ecuaţiilor de contur şi calculul curenţilor. Scrierea ecuaţiilor de contur se face după a doua teoremă a lui Kirchhoff, pentru conturul BCDAB: R1 · I11 – R2 · (I22 – I11) = E1 – E2 sau grupând termeni care conţin curenţii I11 şi I22 se obţine: (R1 + R2) · I11 – R2 · I22 = E1 – E2. În mod analog se stabileşte şi ecuaţia pentru conturul AGFBA: R22 · I22 – R21 · I11 = E2 – E3. Înlocuind valorile rezistenţelor şi a t.e.m. se obţine: 300 · I11 – 100 · I2 = 60 – 48 = 12 ; N P R T V ¢ ¤ Ö Ø X à Ì Ø Ú Ü Þ Œ Ž À Â Ä È Ê ò ô j „@ ^„@ „@ ^„@ „@ ^„@ 2. Astfel, calculul curenţilor de contur I11 şi I22 se reduce la rezolvarea unui sistem de două ecuaţii. Înmulţind cea de a doua ecuaţie cu 3 şi adunând-o, membru cu membru cu prima ecuaţie se obţine: 300 · I11 – 100 · I22 + 330 · I22 – 300 · I11 = 12 + 126 de unde, după reducerea termenilor asemenea: 230 · I22 = 138 sau: I22 = 138/230 = 0,6 A. Înlocuind această valoare în prima ecuaţie de contur se obţine curentul I11: I11= (12 + 100 · I22) · 300 = (12+ 100*0,6) · 300 = 0,24 A. Folosind legătura stabilită mai înainte (punctul 1) între curenţii ciclici şi curenţii reali se obţin valorile curenţilor prin laturile de circuit: I1 = I11 = 0,24 A I3 = I22 = 0,6 A I2 = I22 – I11 = 0,6 – 0,24 = 0,36 A. Discuţii suplimentare. 1. Cum se modifică ecuaţiile contururilor dacă se alege sens opus pentru curentul I22 din fig. 3-5? În cazul în care curentul I22 este orientat în sens antiorar, ecuaţiile de contururi se scriu sub forma: R11 · I11 + R12 · I22 = E1 – E2 R22 · I22 + R21 · I11 = E3 – E2. Din compararea ecuaţiilor obţinute acum cu cele folosite în rezolvarea problemei se poate trage următoarea concluzie referitoare la semnul căderii de tensiune pe rezistenţa comună a contururilor: sensul este pozitiv atunci când curenţii ciclici, prin rezistenţa comună, au acelaşi sens şi semn negativ când curenţii ciclici au sensuri contrare. 2. În care cazuri este avantajos de a aplica metoda curenţilor ciclici? Avantajul acestei metode faţă de metoda ecuaţiilor lui Kirchhoff apare atunci când circuitul conţine un număr mare de ochiuri. Astfel, pentru calcularea curenţilor circuitului ce conţine un montaj în punte, din fig. 2-10, format din şase laturi şi trei ochiuri, trebuiesc stabilite după metoda ecuaţiilor lui Kirchhoff şase ecuaţii şi numai trei ecuaţii prin metoda curenţilor ciclici, fapt ce rezultă şi din fig. 3-6. R1 R2 E r0 R3 R4 R5 Fig. 3-6. Curenţii de contur (ciclici) pentru un montaj în punte. Este evident că pentru calcularea montajului în punte după metoda curenţilor ciclici, prin rezolvarea sistemului de ecuaţii stabilit, este necesar un timp mai scurt decât atunci când se aplică metoda de transfigurare din problema paragrafului 2-4. 3-4. METODA CELOR DOUĂ NODURI. Enunţul problemei Două generatoare conectate în paralel, fig. 3-7, cu t.e.m. E1 = E2 = 230 V şi de rezistenţe interne r1 = 0,5 Ω şi r2 = 0,4 Ω alimentează un receptor a cărui rezistenţă echivalentă R = 10 Ω. Să se determine toţi curenţii, puterile generatoarelor, pierderile de puteri pe rezistenţele interne precum şi puterea receptorului R. I1 A I3 I2 + + E1 E2 R r1 r2 – – B Fig. 3-7. Funcţionarea în paralel a două generatoare. Rezolvarea problemei. 1. Aplicarea metodei celor două noduri. Spre deosebire de metoda curenţilor ciclici, care se poate aplica pentru rezolvarea oricărui circuit, metoda celor două noduri nu poate fi aplicată decât pentru calculul circuitelor care au numai două noduri, fiind indiferent numărul de laturi. În practică se întâlnesc des circuite numai cu două noduri şi această metodă simplifică, în mod considerabil, calculele. Pentru calcul se foloseşte formula următoare, care determină tensiunea între cele două noduri: ∑EG U0 = ──── ∑G unde: ∑EG este suma algebrică a produselor t.e.m. prin conductanţa corespunzătoare, ∑G este suma conductanţelor laturilor. Atunci, prin circuitul considerat, fig. 3-7, E1 · G1 + E2 · G2 U0 = UAB = ───────────── · G1 + G2 + G3 În cazul de aici termenul E3 · G3 lipseşte, pentru că, în latura a treia nu există t.e.m. Dacă, de exemplu, t.e.m. E2 ar avea sens opus, atunci înaintea termenului E2 · G2 trebuia să se pună semnul minus. 2. Calculul tensiunii dintre noduri. Mai întâi se determină conductanţa fiecărei ramuri: 1 1 G1 = ───── = ───── = 2 S; r1 0,5 1 1 G2 = ───── = ───── = 2,5 S; r2 0,4 1 1 G = ───── = ───── = 0,1 S. R 10 Astfel, tensiunea dintre cele două noduri este: E1 · G1 + E2 · G2 230 · 2 + 230 · 2,5 UAB = ────────── = ──────────── = 225 V. G1 + G2 + G3 2 + 2,5 + 0,1 3. Alegerea sensurilor pozitive pentru curenţi. Circuitul considerat (fig. 3-7) este format din trei laturi de circuit prin care trec curenţii corespunzători I1, I2 şi I3, curenţi a căror sensuri, înaintea calcului circuitului sunt necunoscute, circuitul fiind complex; va trebui, deci, să se aleagă sensurile pozitive în mod arbitrar, ca în fig. 3-7, reprezentaţi prin săgeţi. 4. Calculul curenţilor. Sensurile curenţilor, adoptate în fig. 3-7, coincid cu sensul t.e.m. În acest caz tensiunea dintre noduri sau tensiunea la capetele laturii, este egală cu diferenţa dintre t.e.m. a sursei şi căderea de tensiune pe rezistenţa ramurii, adică: UAB = E1 – I1 · r1 = E2 – I2 · r2 de unde: E1 – UAB I1 = ─────── = (E1 – UAB) · G1 = (230 – 225) · 2 = 10 A. r1 E2 – UAB I2 = ─────── = (E2 – UAB) · G2 = (230 – 225) · 2 =12,5 A. r2 După legea lui Ohm, curentul I este: UAB I = ───── = UAB · G = 225 · 0,1 = 22,5 A. R 5. Calculul puterilor. Puterile debitate de surse sunt: P1 = E1 · I1 = 230 · 10 = 2,3 Kw ; P2 = E2 · I2 = 230 · 12,5 = 2,875 kW. Pierderile de putere pe rezistenţele interne sunt: P01 = r1 · I12 = 0,5 · 102 = 50 W = 0,05 kW ; P02 = r2 · I22 = 0,4 · 12,52 = 62,5 W = 0,0625 kW. Puterea consumatorului este: P = R · I2 = 10 · 22,52 = 5,0625 kW. Stabilirea bilanţului puterilor: P01 + P02 + P = 0,05 + 0,0625 + 5,0625 = 5,175 kW ; P1 + P2 = 2,3 + 2,875 = 5,175 kW. Astfel: P01 + P02 + P = P1 + P2 Ceea ce era de aşteptat, în cazul în care calculele au fost corect efectuate. Discuţii suplimentare. 1. Cu ce precizie trebuie calculată tensiunea dintre noduri? În majoritatea problemelor practică, caz întâlnit şi în problema rezolvată, tensiunea dintre noduri diferă puţin faţă de t.e.m. Din această cauză, considerând pentru problema de aici, în determinarea tensiunii UAB o eroare de numai 1 %, adică, luând U’AB = 227,25 V în loc de 225 V se va obţine pentru curentul I1 = 10 A valoarea I’1 = (E1 – U’AB) = (230 –227,25) · 2 = 5,5 A, adică pentru curent eroarea este de 45%. Acest exemplu demonstrează că tensiunea între noduri trebuie să fie calculată cu o precizie mai mare cu cel puţin de două ordine decât precizia cu care se calculează curenţii. Metoda celor două noduri nu poate fi, deci, aplicată la calcularea circuitelor cu tensiunea dintre noduri foarte apropiate de tensiunea surselor de alimentare. 2. Care sunt parametrii surselor care determină repartiţia curenţilor în laturile circuitului? Pentru asigurarea funcţionării în paralel a mai multor generatoare trebuie cunoscută repartiţia curentului (a sarcinii) între aceste generatoare. Astfel, pentru E1 = E2 se obţine următorul raport între generatoare: I1 (E1 – UAB) · G1 G1 r2 ───── = ────────── = ──── = ───── , I2 (E2 – UAB) · G2 G2 r1 adică, în cazul în care t.e.m., ale generatoarelor conectate în paralel sunt egale, raportul curenţilor este invers proporţional cu raportul rezistenţelor interioare ale generatoarelor. 3. În ce caz una din sursele conectate în paralel funcţionează în regim de receptor? Conectând în paralel cu un generator oarecare, o baterie de acumulatoare în calitate de sursă de alimentare de rezervă (în cazul defectării generatorului) se obţine ceea ce se numeşte o conectare “în tampon” a acumulatoarelor. Acest tip de conexiune este folosit pentru alimentarea receptorilor care din cauza restricţiilor tehnologice nu suportă o deconectare chiar de scurtă durată, a sursei. Presupunând că, în cazul problemei de aici, prima sursă este un generator şi a doua o baterie de acumulatoare conectată în tampon. Este evident că în condiţii normale receptorul trebuie a fi alimentat numai de la generator, în timp ce bateria trebuie să funcţioneze fie în gol, fie în regim de sarcină, ceea ce se poate asigura atunci când t.e.m. a generatorului depăşeşte t.e.m. a bateriei de acumulatoare. De exemplu, pentru E1 = 245 V şi E2 = 230 V tensiunea dintre noduri, din relaţia (3-8) este: E1 · G1 + E2 · G2 245 · 2 + 230 · 2,5 UAB = ────────── = ───────────── = 232 V ; G1 + G2 + G3 4,6 iar, curentul prin bateria de acumulatoare: I2 = (E2 – UAB) · G2 = (230 – 232) · 2,5 = -5A , adică, sensul curentului I2 este opus sensului t.e.m. E1 şi bateria de acumulatoare funcţionează în regim de receptor (consumator). Atunci când generatorul este debranşat, acumulatorul devenind singura sursă de alimentare din circuit intră în funcţionare în regim de generator şi alimentează astfel receptorul. 3-5. METODA GENRATORULUI ECHIVALENT DE TENSIUNE. REGIMUL CU SARCINĂ VARIABILĂ. Enunţul problemei. Fie circuitul din fig. 3-7 cu t.e.m. E1 = 232 V şi E2 = 22 V, având rezistenţe interne egale r1 = r2 = 0,4 Ω. Rezistenţa R a sarcinii generatorului variază între (0 ÷ 1) Ω. Să se determine relaţia dintre curentul, puterea sarcinii şi randamentul generatorului în funcţie de rezistenţa R. A A1 + + R E1 E2 r1 r2 – – UAB C B B1 Fig. 3-8. Împărţirea circuitului în părţi interioare şi exterioare. Rezolvarea problemei. 1. Aplicarea metodei generatorului echivalent de tensiune. Această metodă se recomandă pentru determinarea mărimilor electrice (curenţi tensiuni, puteri, etc.) pentru o latură a unui circuit complex. Avantajele metodei generatorului echivalent de tensiune, faţă de celelalte metode, ies în evidenţă atunci când rezistenţa laturii analizate este variabilă (sarcină variabilă), ca în problema de aici. 2. Stabilirea schemei echivalente. Circuitul examinat poate fi împărţit faţă de cele două noduri, A şi B, în două părţi (Fig. 3-8): ramura de studiat cu rezistenţa R pe care o denumim sectorul exterior al schemei şi restul circuitului care a mai rămas, denumit sectorul interior al schemei. Cele două părţi, internă şi externă, ale schemei din fig. 3-8 sunt conectate între ele prin liniile punctate AA1 şi BB1, fiecare linie aparţinând unui nod. După teorema lui Thévenin tot sectorul interior al schemei poate fi înlocuit printr-o singură sursă de alimentare cu t.e.m. Ee şi rezistenţa Re (fig. 3-9, latura ACB). A Ee I R Re C B Fig. 3-9. Transformarea circuitului într-o sursă echivalentă de tensiune. După o asemenea substituţie în circuitul din fig. 3-7 este transfigurat într-un circuit simplu, neramificat, ca în fig. 3-9, a cărui calcul nu prezintă dificultăţi. Astfel, rezolvarea problemei trebuie să înceapă prin determinarea parametrilor echivalenţi, Ee şi Re, ai sectorului interior al schemei. 3. Calculul parametrilor sursei echivalente de tensiune. După teorema lui Thévenin t.e.m. a sursei echivalente de tensiune Ee este egală cu tensiunea la bornele sectorului interior al circuitului atunci când sectorul exterior este deconectat (regim de funcţionare în gol), tensiune notată cu UABO. În cazul nostru aceasta înseamnă că t.e.m. echivalentă Ee este egală cu tensiunea între punctele A şi B a schemei din fig. 3-8 pentru regimul de mers în gol Ee = UABO = E1 – r1 · I’, I’ fiind curentul prin conturul ABCA din fig. 3-8. Se observă că, atunci când rezistorul R este deconectat (eliminat din circuit), curentul I’ se determină ca în paragraful 1-2: E1 – E2 232 – 228 4 I’ = ───── = ─────── = ─── = 5 A . r1 + r2 0,8 0,8 Astfel încât rezultă: Ee = E1 – r1 ∙ I’ = 232 – 0,4 ∙ 5 = 230 V. Această tensiune Ee = UABO acţionează în circuitul exterior din punctul A înspre punctul B, ca în fig. 3-9. Se calculează, apoi, rezistenţa internă a sursei echivalente Re. Pentru aceasta se elimină toate t.e.m. din sectorul interior al schemei, (în cazul de aici E1 şi E2) şi se determină rezistenţa echivalentă a schemei pentru regimul de mers în gol faţă de bornele care delimitează părţile circuitului, în cazul de aici A şi B, din fig. 3-8. r1 ∙ r2 r1 r2 0,4 RABO = ────── = ─── = ──── = ──── = 0,2 Ω . r1 + r2 2 2 2 Rezistenţa echivalentă astfel obţinută pentru sectorul interior al schemei reprezintă parametrul Re căutat al sursei echivalente de tensiune, adică Re = RABO = 0,2 Ω. 4. Determinarea relaţiei între curent şi rezistenţă I = f(R). Curentul în schema echivalentă, fig. 3-9 este: Ee Ee 1 230 1 1,15 ∙ 103 I = ───── = ─── ∙ ────── = ─── ∙ ────── = ────── Re + R Re 1 + R/Re 0,2 1 + R/Re 1 + R/Re Cu ajutorul acestei relaţii se calculează curenţii pentru diferite valori ale raportului R/Re sau R (tabelul 3-1), de unde rezultă că: micşorarea curentului urmează o variaţie hiperbolică atunci când R creşte. Tabelul 3-1 R/Re 0 0,5 1 2 3 5 R [Ω] 0 0,1 0,2 0,4 0,6 1 I [A] 1150 766 575 383 287,5 191,5 5. Determinarea relaţiei dintre putere şi sarcină? Cu datele curentului I şi a rezistenţei R din tabelul 3-1 se calculează puterea sarcinii P = R ∙ I2 şi rezultatele obţinute se trec în tabelul 3-2 pe baza cărora se trasează diagrama puterii P faţă de raportul dintre rezistenţa circuitului exterior şi rezistenţa internă a sursei. Tabelul 3-2 R/Re 0 0,5 1 2 3 5 P [kW] 0 58,7 66,12 58,7 49,5 36,7 Se observă, din graficul din fig. 3-10, că regimul de maximă putere în circuitul exterior se obţine atunci când R = Re (această afirmaţie se va demonstra în discuţia suplimentară 3). 6. Determinarea randamentului P I2 ∙ R R 1 η = ─── = ──────── = ───── = ──────── Ps I2 ∙ (R + Re) R + Re 1 + Re/R Pentru regiuni caracteristice randamentul este: - pentru R = 0 0 η = ───── = 0 0+Re - pentru R = Re Re η = ────── = 0,5 sau η = 50 % Re + Re - pentru R = ∞ 1 η = ───── = 1 sau η = 100% Re 1 + ── ∞ În concluzie, randamentul creşte cu mărirea raportului R/Re şi atinge valoarea maximă (100%) din punct de vedere teoretic în regimul de mers în gol. Discuţii suplimentare. 1. De ce teorema lui Thévenin mai este denumită şi teorema bipolului activ? În timpul rezolvării problemei referitoare la circuitul complex dat în fig. 3-8 s-a împărţit circuitul în parte interioară şi parte exterioară. Partea interioară reprezintă un circuit activ cu două borne de acces cu exteriorul, notate cu A şi B în fig. 3-8, ceea ce reprezintă un bipol activ. Parametrii sursei echivalente de tensiune Ee şi Re sunt determinate de schema şi parametrii bipolului activ dat. Din această cauză teorema lui Thévenin se mai numeşte şi teorema bipolului activ. 2. Din ce cauză metoda generatorului echivalent de tensiune mai este numită, câteodată şi metoda mersului în gol şi scurtcircuit? Dacă se măsoară tensiunea între punctele A şi B (fig. 3-8) atunci când rezistenţa R este deconectată, adică atunci când generatorul echivalent funcţionează în regim de mers în gol se obţine tocmai tensiunea echivalentă, adică Ee = UABO. Dacă între punctele A şi B se înseriază un ampermetru de rezistenţă mică, adică generatorul de tensiune echivalent funcţionează în regim de scurtcircuit, curentul măsurat este curentul de scurtcircuit, Isc şi egal (din fig. 3-9, pentru R=0) cu Ee Isc = ─── Re De unde rezultă rezistenţa echivalentă Ee Re = ─── Isc Înlocuind Ee = UABO se obţine UABO Re = ───── Isc În concluzie, efectuând măsurări la mers în gol şi scurtcircuit, se poate determina, experimental, parametrii generatorului echivalent. 3. Cu se poate determina analitic condiţia obţinerii unei puteri maxime în circuitul exterior? Expresia puterii funcţie de rezistenţa circuitului exterior este: E R P (R) = I2 ∙ R = ( ───── )2 ∙ R = E2 ∙ ──────── R + Re (R + Re)2 De unde se obţine succesiv: R 1 P(R) = E2 ∙ ──────────── = E2 ∙ ──────────── = R2 + 2∙R∙Re + Re2 R + 2∙Re + (Re2/R) 1 = E2 ∙ ───────────── ((R + Re/(Re)2 Pentru că t.e.m. E este constantă, ca şi Re, înseamnă că puterea va fi maximă atunci când numitorul expresiei puterii va fi minim. Numitorul este minim atunci când termenii sunt egali, proprietate valabilă pentru suma a două numere a căror produs este constant. Deci: Re (R = ──── (R de unde: R = Re . 4. În ce cazuri se alege pentru circuitul din fig. 3-9 un regim de putere maxim şi când se alege un regim de randament maxim? Pentru circuitele de putere mică, cazul aparatelor electronice speciale) unde nu contează pierderea unei anumită energii, se alege R = (1 ÷ 3)∙Re, asigurându-se astfel un regim apropiat de puterea maximă disipată de rezistenţa receptorului R, randamentul fiind cuprins între (50 ÷ 75)%. Pentru circuitele de putere medie sau mare nu se poate admite un randament atât de mic care determină importante pierderi de energie. În aceste cazuri se aleg rezistenţe exterioare cuprinse în intervalul R = (10 ÷ 20)∙Re, asigurându-se astfel un randament ridicat, peste 95%, cu toate că puterea debitată este de mai multe ori mai mică decât puterea maximă posibilă. P [kW] η % 100 0 1 2 3 4 5 R/Re Fig. 3-10. Graficul variaţiei puterii şi randamentului în funcţie de raportul rezistenţei circuitului exterior R că şi rezistenţei circuitului intern a sursei Re. 3-6. PROBLEME PROPUSE PENTRU REZOLVARE. 43. Să se determine curenţii prin toate laturile de circuit din figura 3-11, dacă E1 = E2 = 120 V; r1 = 0,5 Ω, r2 = 0,4 Ω, R1 = 10 Ω, R2 = 14,5 Ω, R3 = 12,4 Ω şi R4 = 83,3 Ω. Se să rezolve problema prin două metode a superpoziţiei şi a celor două noduri. R2 A + + E1 E2 R4 r1 r2 - - R1 R3 B Fig. 3-11. Pentru problema 43. 44. Să se determine pentru circuitul din fig. 3-12, cu ajutorul principiului superpoziţiei toţi curenţii dacă E1 = 45 V, E2 = 60V, R1 = 60 Ω, R2 = 100 Ω, R3 = 150 Ω, R4 = 20 Ω. Rezistenţele interne ale surselor se neglijează. R1 A R4 E2 R2 R3 . r2 E1 r1 B BIBLIOGRAFIE Ioan de Sabata – Bazele electrotehnici, litografia IPTVT, Timişoara, 1974; Răduleţ, R – Bazele electrotehnicii, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1981; Timotin, A şi Hortopan, V. – Lecţii de bazele electrotehnicii, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1964; Zaitchik, M.Y. – Problèmes et exercises d’électrotechnique générale, Editions Mir, Mosoori, 1980. PAGE PAGE 2 I11 I11 I22 I22 I33 쥁@